Prueba del número primo

Question

Dado que $n>2$ . Demostrar que si $2^n-1$ es primo, entonces $2^n+1$ es compuesto o viceversa. He buscado en wikipedia el número de Fermat y el primo de Mersenne, pero sigo sin saber cómo funcionan.

Answer 1

Sugerencia $\ a\mid (a\!-\!1)^n\!\pm 1\ $ desde $ $ mod $\ a\!:\ (a\!-\!1)^n \equiv (-1)^n\equiv \pm 1$

Por ejemplo $\,\ 10\mid 9^n\pm1\, $ es un caso bien conocido (potencia de $9$ terminar con dígito $1$ o $9)$

Su caso puede ser visto como la analogía en radix $\,3.$

Answer 2

Claramente no puedes probar que $2^n-1$ compuesto implica $2^n+1$ es primo. Tome $n=6$ por ejemplo. Al revés, pensemos en la divisibilidad por $3$ .

Answer 3

Al menos uno de $2^n-1$ y $2^n+1$ debe ser divisible por $3$ y ninguno de ellos es $3$ . Por lo tanto, al menos uno de ellos es compuesto.