Encontrar el grupo de Galois sobre $\Bbb{Q}$ .

Question

Si K es el campo de división de $X^8-2$ en $\Bbb{Q}$ Quiero encontrar el grupo galois.

Sabemos que $K=\Bbb{Q}(2^{1/8}, \zeta_8)$ .

Así que primero quiero ver $Gal(\Bbb{Q}(\zeta_8)/\Bbb{Q})$ y luego mira $Gal(\Bbb{Q}(2^{1/8})/\Bbb{Q})$ ya que existe un homomorfismo $\rho: Gal(\Bbb{Q}(2^{1/8},\zeta_8)/\Bbb{Q}) \rightarrow Gal(\Bbb{Q}(\zeta_8)/\Bbb{Q})$ .

Desde $Gal(\Bbb{Q}(\zeta_8)/\Bbb{Q}) \cong Aut(<\zeta_8>) \cong Z^{\times}_8 = \{1, 3, 5, 7\}$ sabemos que tenemos cuatro subgrupos en $Gal(Q(\zeta_8)/\Bbb{Q})$ (Deja $\zeta_8 = \zeta$ ):

$\sigma_1(\zeta) = \zeta$

$\sigma_3(\zeta) = \zeta^3$

$\sigma_5(\zeta) = \zeta^5$

$\sigma_7(\zeta) = \zeta^7$

Y ahora tengo que relacionar esto con el homomorfismo $\rho$ para encontrar el resto de las permutaciones, ¿verdad? Pero estoy un poco confundido. Me he pasado horas intentándolo y estoy seriamente atascado... ¿alguien podría ayudarme con esto?

Gracias de antemano

Answer 1

$\zeta:=\zeta_8$ es de grado $2$ en $\mathbb{Q}(\sqrt[8]{2})$ Por lo tanto $K:=\mathbb{Q}(\sqrt[8]{2},\zeta)$ es de grado $16$ en $\mathbb{Q}$ y de grado $4$ en $\mathbb{Q}(\zeta)$ . El polinomio mínimo de $\sqrt[8]{2}$ en $\mathbb{Q}(\zeta)$ es $X^4-\sqrt{2} = X^4 - (\zeta + \zeta^{-1})$ .

Por lo tanto $Gal(K/\mathbb{Q})$ es una extensión de $(\mathbb Z_8)^\times$ por $\mathbb Z_4$ .

Si $\sigma \in Gal(K/\mathbb{Q})$ entonces $\sigma$ satisface: $\sigma(\zeta) = \zeta^a$ y $\sigma(\sqrt[8]{2})=\zeta^b \sqrt[8]{2}$ para algunos $a \in \mathbb Z_8^\times$ , $b \in \mathbb Z_8$ tal que $\zeta^{4b} \sqrt{2}= \zeta^a + \zeta^{-a}$ lo que significa $b = \tfrac{a-1}{2} \pmod 2$ .

EDITAR: Tenga en cuenta que $\zeta_8 = \exp(2i\pi/8) = \exp(2i\pi/8)$ . Sabemos que tomar cualquier valor en $\{ 1,3,5,7 \} =\mathbb Z_8^\times$ y tenemos :

• $\exp(1 \times i \pi/4) + \exp(-1.i \pi/4) =\sqrt{2}$ .
• $\exp(7 \times i \pi/4) + \exp(-7.i \pi/4) =\sqrt{2}$ .
• $\exp(3 \times i \pi/4) + \exp(-3.i \pi/4) =-\sqrt{2}$ .
• $\exp(5 \times i \pi/4) + \exp(-5.i \pi/4) =-\sqrt{2}$ .

En función de $a$ el valor $(\zeta^b)^4$ debe ser $+1$ o $-1$ . En cualquier caso son exactamente $4$ valores de $b$ permitido.