Máximo $k$ de forma que $k$ -La propiedad de intersección no implica la propiedad de $k+1$ -propiedad de intersección

Question

Fijar $n \geq 1$ . Para cualquier colección finita $\mathcal{E}$ de subconjuntos convexos cerrados de $\mathbb{R}^n$ y para cualquier $k \geq 1$ digamos que $\mathcal{E}$ tiene el $k$ -propiedad de intersección si $$\bigcap_{i=1,\cdots,k}E_i \ne \emptyset \text{ for all } E_1,\cdots,E_k \in \mathcal{E}.$$

Para fijos $n$ ¿Cuál es la mayor $k$ para la que existe una colección que tiene el $k$ -pero no la propiedad $k+1$ -¿Propiedad de intersección?

Para $n=1$ está claro que la respuesta es $k=1$ como cualquier colección finita $\mathcal{E}$ que tenga la propiedad 2-intersección será tal que $\bigcap_{E \in \mathcal{E}}E \ne \emptyset$ lo que implica que $k$ -para cualquier $k>2$ . Pero no veo cómo enfocar el problema para mayores $n$ (incluso para $n=2$ ).

Answer 1

Esto es Teorema de Helly (con la nota obvia de que $n+1$ en su premisa es la mejor posible).