Encontrando $\lim_{x\to 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$

Question

¿Cómo podría resolver este límite siguiente?

$$\lim_{x\to 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$$

Mis intentos:

La sustitución directa hace que el límite sea indefinido, descartando también la posibilidad de utilizar la regla de L'Hospital.

No veo que se puedan hacer sustituciones inteligentes con este límite.

¿Ayudaría aquí el teorema del apretón? Tal vez usando las identidades trigonométricas:

$$-1 \le \cos x \le 1$$

y

$$-1 \le \cos x \le 1$$ EDITAR

He intentado desglosar el límite término por término.

Así que, para la primera:

$$y = \lim_{x\to 0} (1 + \tan x)^{1/x}$$

Tomando el logaritmo natural de ambos lados:

$$\ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+\tan x)}{x}$$

Rendimientos de la sub. directa $0/0$ . Usando la regla de L'Hospital:

$$\ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sec^2{x}}{1+\tan x}}{1} = \frac{\sec^2{x}}{1+\tan x} = 1$$

Así, $\ln y = 1$ Así que $y= e$

EDITAR #2

Gracias a un comentario al azar, realmente me ayuda:

$$\lim_{x\to 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$$

$$\lim_{x\to 0} \frac{e-e}{0} = \frac{0}{0}$$

Por lo tanto, podemos usar L'Hospitals aquí:

$$\lim_{x\to 0} \frac{(\tan x+1)^{1/x} \left(\frac{\sec^2 x}{x(\tan(x)+1)}-\frac{\ln(\tan(x)+1))}{x^2}\right)}{1} = (\tan x+1)^{1/x} \left(\frac{\sec^2 x}{x(\tan(x)+1)}-\frac{\ln(\tan(x)+1))}{x^2}\right)$$

Lamentablemente, no he hecho más progresos.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Puedes escribir, para $x$ cerca de $0$ , $$ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\mathcal{O}(x^5) $$ $$ \log(1+\tan x)=x-\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^3) $$ $$ \frac1x\log(1+\tan x)=1-\frac{x}{2}+\mathcal{O}(x^2) $$ entonces $$ e^{\frac1x\log(1+\tan x)}=e^{1-\frac{x}{2}+\mathcal{O}(x^2)}=e(1-\frac{x}{2}+\mathcal{O}(x^2)) $$ y $$ \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\frac{e(1-\frac{x}{2}+\mathcal{O}(x^2))-e}{x}=-\frac{e}{2}+\mathcal{O}(x) $$ dando $\displaystyle -\frac{e}{2} $ como límite.

Answer 2

En primer lugar, observe el asimétrico de $1+tan(x)$ es 1+x+o(x). Entonces encontraremos la asimétrica de $(1+x)^{1/x} $ = $e^{{\frac{1}{x}}{ln(1+x)}}$ = $e^{1/x}$ = $e^{\frac{1}{x}*(x-x^2/2+o(x))}$ y eso es como $e*e^{-x/2}$

Entonces tenemos en nominador asimétrico como: $e*e^{-x/2}-e=e*(e^{-x/2}-1)=e*(1-x/2+o(x)-1)=e*(-x/2)$ y tu linit es como $ \lim_{x->0}\frac{e*(-x/2)}{x}=-e/2$

Answer 3

Casi tienes la idea. Sólo voy a insinuar que en lugar de dejar $y$ sea $\lim_{x \to 0} (1+\tan x)^{1/x}$ sea la expresión de la que se quiere obtener el límite. Es decir dejemos que $y = \frac{(1+\tan x)^{1/x} - e}{x}$ . A continuación, tome el logaritmo natural antes de tomar el límite.

Answer 4

Utilizaré la serie maclaurin $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}+\cdots, \ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \cdots.$ ahora podemos ampliar

$\begin{align} \ln(1 + \tan x) &= \tan x - \frac{\tan^2 x}{2} +\frac{\tan^3 x}{3} + \cdots \\ &= x + \frac{x^3}{3}+\cdots -\frac{x^2}{2}+\cdots + \frac{x^3}{3} + \cdots\\ &= x - \frac{x^2}{2} + \cdots \end{align}$

por lo tanto $\frac{1}{x} \ln(1 + \tan x) = 1 - \frac{x}{2} + \cdots$ exponenciando el último resultado da $$(1 + \tan x)^{1/x} = ee^{- x/2 + \cdots} = e\{1- x/2 + \cdots \}$$

finalmente, $$\lim_{x \to 0}\frac{(1 + \tan x)^{1/x} - e}{x} = -\frac{e}{2} $$

Answer 5

Una forma más: reescribir el límite como (tomar $g(x) = (1+\tan x)^{\frac{1}{x}}$ $$ \lim_{x \to 0} \lim_{\epsilon \to 0} \frac{(1+\tan(x+\epsilon))^{\frac{1}{x+\epsilon}} - (1+\tan \epsilon)^\frac{1}{\epsilon}}{x} = \lim_{\epsilon \to 0}\lim_{x \to 0}\frac{(1+\tan(\epsilon +x))^{\frac{1}{\epsilon +x}} - (1+\tan \epsilon)^\frac{1}{\epsilon}}{x}\\ =\lim_{\epsilon \to 0}g'(\epsilon) $$ Puedes hacerlo desde $g(x)$ es una función continua. Ahora tomemos la expansión en serie de Taylor de $\tan \epsilon$ y obtendrá el resultado.