Transformada lineal de $_2F_1(a,b;c;\frac1x)$ a $_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;\frac{1-x}{2})$ ?

Question

Para $x>1$ ¿existe una transformada lineal que transforme $\frac1x$ a $\frac{1-x}{2}$ para la función hipergeométrica $_2F_1$ es decir, $_2F_1(a,b;c;\frac1x)$ en términos de $_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;\frac{1-x}{2})$ ?

Answer 1

A menos que pongamos algunas restricciones en los parámetros $a$ , $b$ , $c$ el argumento de la función hipergeométrica $_2F_1(a,b;c;x)$ sólo puede transformarse entre seis relaciones cruzadas $$x,\quad 1-x,\quad \frac1x,\quad \frac{x}{x-1}, \quad \frac{1}{1-x},\quad \frac{x-1}{x},$$ de ahí la respuesta a su pregunta: no la hay.