¿es vacío el espacio nulo de las matrices triadiagonales?

Question

He generado muchas matrices tridiagonales aleatorias y he considerado que el espacio nulo de todas ellas está vacío. ¿Es esto cierto para todas las matrices tridiagonales?

Answer 1

La respuesta es no. Un ejemplo no trivial $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$$

Answer 2

@mechanodroid ya ha proporcionado un contraejemplo. Quiero comentar por qué no te has encontrado con ninguna matriz tri-diagonal que tenga un espacio nulo no trivial:

Obsérvese que el espacio nulo de una matriz $A$ es igual a $\{0\}$ si y sólo si el $A$ no es invertible). Sin embargo, la medida de Lebesgue (sobre $\Bbb R^{(n^2)}$ ) del conjunto de los no invertibles $n\times n$ matrices es $0$ .

Algo similar ocurre si se construye una medida de Lebesgue (sobre $\Bbb R^{3n-2}$ ) sólo para matrices tri-diagonales. Así, informalmente (ya que la medida de Lebesgue no es en absoluto una medida de probabilidad), la probabilidad de elegir al azar una matriz tri-diagonal con espacio nulo no trivial es $0$ .