Pregunta sobre la estructura del módulo reducible de Verma del modelo mínimo

Question

Actualmente estoy estudiando el módulo reducible de Verma de modelos mínimos(por capítulo $7.3.3$ de di Francesco) y parece que llego a la contradicción en algún punto.
Esta es la configuración:
Estados con mayor peso $h_{r,s} (c)$ definidos en el determinante de Kac se supone que existen para $r,s \geq 1$

$$det M^{(l)} = \alpha_l \prod_{r,s \geq 1; r,s \leq l} [h -h_{r,s}(c)]^{p(l-rs)}$$ donde $l$ define el nivel correspondiente, $\alpha_l$ es una función de r y s y $p(l-rs)$ es el número de particiones del entero $l -rs$ . Forma explícita de $h_{r,s}$ puede parametrizarse de la siguiente manera:
$$c=13-6 \big(t+\frac{1}{t} \big)$$ $$h_{r,s}(t) =\frac{1}{4}(r^2-1)t+\frac{1}{4}(s^2-1)\frac{1}{4}-\frac{1}{2}(rs-1)$$ donde $t$ es algún número que define el valor de la carga central.
Ahora (como yo lo entiendo) modelo mínimo puede ser definido por la siguiente restricción: $$h_{r,s}=h_{r+p',s+p}$$ donde $p',p$ son dos números positivos.
Teniendo en cuenta la propiedad anterior se puede demostrar que el siguiente estado $$h_{r,s} = h_{p'-r,p-s}$$ (Si estoy en lo cierto, entonces) esto debería restringir los valores de $r$ y $s$ : $$r < p' \quad s < p$$ de lo contrario tendremos estados como $h_{-1,-2}$ cuya existencia está prohibida por la fórmula de Kac. Sin embargo, esta afirmación parece estar en contradicción con la siguiente expresión derivada en el mismo capítulo. Esta última parece requerir la existencia de estados como $h_{-|r|,-|s|}$ : $$h_{r,s}+rs=h_{p'+r,p-s} = h_{p'-r,p+s}$$ ¿Cómo resolver esta contradicción?

Answer 1

No hay contradicción. Módulos de Verma con dimensiones arbitrarias $h$ existen como representaciones del álgebra de Virasoro. La tabla de Kac, definida como las dimensiones $h_{r,s}$ con $1\leq r \leq p'-1$ y $1\leq s\leq p-1$ le indica qué representaciones aparecen en el modelo mínimo con parámetros $p,p'$ .

Las representaciones que aparecen en los modelos mínimos no son exactamente módulos de Verma, sino cosets de los mismos. El coset pertinente del módulo de Verma de dimensión $h_{r,s}$ se define eliminando los dos vectores nulos en los niveles $rs$ y $(p'-r)(p-s)$ junto con sus descendientes.

Parece que te falta la identidad $h_{-r,-s}=h_{r,s}$ lo que puede aumentar la confusión.