$a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 6abc$ Tiene soluciones en $\mathbb{Q}$

Question

¿$a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 6abc$ Tiene soluciones en $\mathbb{Q}$?

Esto no es un problema de tarea. De hecho, yo no tienen experiencia previa en teoría del número y le gustaría ver un muestrario de técnicas comunes para resolver problemas como este. Gracias

Editar Aparte de $a=b=c=0$.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $(a,b,c)$ es una solución si y sólo si $(ka,kb,kc)$ es; por lo tanto podemos suponer $a,b,c$ son enteros, con ningún factor común (dividir por ese factor común si es necesario).

Debido a $6abc, 2b^3+4c^3$ son incluso, por lo que es $a^3$ y, por tanto,$a$. Escribir $a=2a'$ y hemos $$8(a')^3+2b^3+4c^3=12a'bc$$ and hence $$4(a')^3+b^3+2c^3=6a'bc$$

Por una lógica similar, $b$ es aún, por lo que escribir $b=2b'$ y nos hve $$4(a')^3+8(b')^3+2c^3=12a'b'c$$ Pero ahora $$2(a')^2+4(b')^3+c^3=6a'b'c$$ and hence $c$ is even. Hence $a,b,c$ are all even; this contradicts $a,b,c$ a no tener ningún factor común.

Seguimiento: La misma prueba funciona si los coeficientes $\{1,2,4,6\}$ son reemplazados por $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,\alpha_4\}$ mientras que hay algunos de los mejores $p$$\nu_p(\alpha_1)=0, \nu_p(\alpha_2)=1, \nu_p(\alpha_3)=2, \nu_p(\alpha_4)\ge 1$. (Aquí se $\nu_p(\cdot)$ indica el p-ádico de valoración). Por ejemplo, aparte de $(0,0,0)$, no hay soluciones racionales a $$7a^3+15b^3+18c^3=45abc$$ where here $p=3$.

$~$

Doble de seguimiento: La misma prueba funciona con $n$ variables $$\alpha_0a_0^n+\alpha_1a_1^n+\cdots+\alpha_{n-1}a_{n-1}^n=\alpha_n(a_0a_1\cdots a_{n-1})$$ siempre que $\nu_p(\alpha_i)=i$ ( $0\le i\le n-1$ ) y $\nu_p(\alpha_n)\ge 1$.

Answer 2

Mientras eso sucede, la forma cúbica $C(a,b,c)=a^3+2b^3+4c^3-6abc$ es la norma formulario para la extensión de $K=\mathbb Q(\root 3 \of 2)$$\mathbb Q$. Es decir, si usted mira un elemento general de la $K$, decir $a + b\root3\of2+c\root3\of2^2$, y tome su campo de la teoría de la norma, lo que se obtiene es exactamente $C(a,b,c)$. Ahora, la norma no se desvanecen en una expresión algebraica de extensión, excepto en cero. Así, sólo porque $C$ pasa a ser una norma, se puede decir de inmediato que el trivial, el cero es el único.

¿Cómo he contado esto? Por haber hecho un montón de ejemplos, primero con la mano a lo largo de muchos años, y luego, más recientemente, con el álgebra simbólica de los programas.

Answer 3

Si se aceptan los números negativos, (57,63,-156) está bien