Estudiar la convergencia de $\frac{x_n}{n^{3/4}}$

Question

Sea $\ x_{n+1}= \ x_n + \dfrac {n^{1/2}}{\ x_n}$ donde $n\geq 1$ con $x_1=1$ . Estudio de la convergencia de $\dfrac{x_n}{n^{3/4}}$ .

En primer lugar, aumenta a medida que $x_1=1$ et $x_n$ es mayor que $1$ pero si intento usar el lema de Stolz-Cesaro falla. ¿Por qué? ¿Hay alguna manera más sofisticada de atacar esto?

Answer 1

El lema de Stolz-Cesaro es una herramienta útil en este caso. Si $L\geq 0$ es el límite de $\dfrac{x_n}{n^{3/4}}$ entonces $$L=\lim_{n\to \infty}\dfrac{x_n}{n^{3/4}}\stackrel{\text{SC}}{=}\lim_{n\to \infty}\dfrac{x_{n+1}-x_n}{(n+1)^{3/4}-n^{3/4}}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{\frac{n^{1/2}}{x_{n}}}{\frac{3n^{3/4}}{4n}}=\frac{4}{3}\lim_{n\to \infty}\dfrac{n^{3/4}}{x_n}=\frac{4}{3L}.$$ lo que implica que $3L^2=4$ es decir $L=\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Queda por demostrar que el límite existe (probar que la secuencia positiva $\dfrac{x_n}{n^{3/4}}$ ¡acaba disminuyendo)!