Una conjetura "media" de Erdős-Turán

Question

Correcto, así que la conjetura Erdos-Turán para bases aditivas (de orden 2) dice, con las notaciones habituales, que $\sup r_B (n) = \infty$ . Veamos en cambio el número medio de representaciones, es decir: la función

$$F(N) = \frac1N \sum_{n=1}^{N} r_B (n)$$

Esto me parece totalmente natural, de hecho más natural que mirar a $(\lim)\sup r_B (n)$ si de lo que se trata es de demostrar que una base debe tener cierto "espesor". Se conocen ejemplos en los que $\sup F(N) < \infty$ de hecho, cualquier base denominada "delgada" tiene esta propiedad. Recordemos que una base es "delgada" si existe $c > 0$ de forma que $k$ elemento de la base es al menos $c \cdot k^2$ . Una pregunta obvia es si $\limsup F(N)$ puede igualar a uno? (Debe ser al menos uno si $B$ es una base). He buscado en vano una respuesta en la literatura. En particular, no he encontrado ningún resultado sobre bases delgadas que se traduzca directamente en una respuesta a esta pregunta, aunque eso puede deberse a que soy demasiado estúpido para ver alguna conexión. Cualquier comentario será bienvenido.

Answer 1

De forma curiosa, es fácil demostrar que una base aditiva $B$ no puede ser delgado tanto en el sentido de Erdős-Turán como en el tuyo; es decir, o bien $\sup r_B=\infty$ o $\limsup F_B(N)>1$ es cierto. Para verlo, supondremos que $\sup r_B<\infty$ e invocar un teorema de Erdős-Fuchs que (quitando algunos extras irrelevantes para nuestros propósitos actuales) dice que para cualquier $c>0$ y cualquier secuencia infinita no decreciente $B$ de no negativos enteros $$ \limsup \frac1N\sum_{n=1}^N (r_B(n)-c)^2 > 0. $$ Aplicando esto con $c=1$ y observando que en nuestro caso tenemos $0\le r_B(n)-1<C$ con una constante $C$ (posiblemente en función de $B$ ), fácilmente [ ] $$ \limsup \frac1N\sum_{n=1}^N (r_B(n)-1) > 0; $$ es decir, $\limsup F(N)>1$ como quieras.

Answer 2

Lo siguiente (no tengo dinero suficiente para escribir un comentario) puede ser útil:

MR2357652 (2008j:11004) Grekos, G.(F-SETN); Haddad, L.(1-PASME); Helou, C.; Pihko, J.(FIN-HELS-MS) Funciones de representación, conjuntos de Sidón y bases. Acta Arith. 130 (2007), no. 2, 149-156. 11B34 (11B13 11B75) PDF Clipboard Journal Article Make Link

Sea $A\subseteq\Bbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ y considere la $h$ -función de representación $$r_h(A,n)=|\{\langle a_1,\dots,a_h\rangle\in A^h\colon \ a_1+\cdots+a_h=n\}|.$$ $A$ se dice que es un $h$ -(resp., una base asintótica $h$ -base) de $\Bbb N$ si $r_h(A,n)>0$ para todos $n\in\Bbb N$ (respectivamente, para todos los $n\in\Bbb N$ ). Llamamos $A$ un conjunto de Sidón si $r_2(A,n)\le 2$ para todos $n\in\Bbb N$ (es decir, todas las sumas $a_1+a_2$ con $a_1,a_2\in A$ et $a_1\le a_2$ son distintos). En 1994, P. Erdős, A. Sárközy y V. T. Sós [Discrete Math. 136 (1994), no. 1-3, 75--99; MR1313282 (96d:11014)] se preguntaron si existe un conjunto de Sidón que sea también una 3-base asintótica de $\Bbb N$ . En el trabajo que nos ocupa, los autores demuestran que un conjunto Sidon no puede ser una 3-base de $\Bbb N$ y también dar una prueba sencilla del hecho conocido de que un conjunto de Sidón no puede ser una 2-base asintótica de $\Bbb N$ . Revisado por Zhi-Wei Sun

Answer 3

@Seva : Sí, yo también me había dado cuenta, y de hecho tiene una demostración elemental. Primero, si $B$ es una base asintótica entonces debe haber alguna $\epsilon > 0$ tal que $b_n \leq n^{2}/(2+\epsilon)$ para infinitas $n$ . Para ver esto, observe que todos menos $O(1)$ de los números hasta $b_n$ debe ser expresable como $b_i + b_j$ para algunos $1 \leq i,j < n$ . Existen $n^{2}/2 + O(n)$ tales sumas, por lo tanto $b_n \leq n^{2}/2 + O(n)$ . Pero si también tuviéramos $b_i \geq i^{2}/(2+\epsilon)$ para todos $i \gg 0$ y algunos suficientemente pequeños $\epsilon$ entonces $\Theta(n^2)$ de todas estas sumas $b_i + b_j$ sería necesariamente mayor que $b_n$ . Desenrollando esto, vemos que debe haber infinitamente muchos $n$ tal que $b_n \leq n^{2}/(2+\epsilon)$ para algunos $\epsilon > 0$ como se afirma.

Ahora fije un $\epsilon$ y considerar un $n$ . Entonces entre las diferencias $b_{i+1}-b_i$ para $1 \leq i < n$ sólo puede aparecer como máximo $(1-\epsilon_2)n$ números distintos, donde $\epsilon_2$ depende únicamente de $\epsilon$ . Cualquier diferencia repetida conduce a una suma repetida de la forma $b_{i+1}+b_j = b_{j+1} + b_i$ . Por tanto, hay al menos $\Theta(n)$ estos pares. Podemos aplicar el mismo argumento a las diferencias $b_{i+t}-b_i$ para cualquier $t \in [1,\epsilon_3 n]$ donde $\epsilon_3$ depende únicamente de $\epsilon$ . Entonces en total obtendremos al menos $\Theta(n^2)$ pares de sumas iguales, sin repeticiones. Pero si la función de representación $r_B$ estuvieran acotadas, cualquier suma particular sólo podría surgir de $O(1)$ pares. Esto implicaría, por tanto, que existen $\Theta(n^2)$ números $x \in [1,2b_n]$ tal que $r_B (x) > 1$ . Desde $b_n = O(n^2)$ concluimos que el valor medio de $r_B$ en el intervalo $[1,2b_n]$ está acotado lejos de uno. Como esto es cierto para infinitos $n$ tenemos que el limsup de la media está acotado lejos de uno.