Área de la esfera de distancia en el colector con Ricci $\ge 0$ .

Question

Sea $M$ sea una variedad completa abierta con curvatura de Ricci $\ge 0$ . Por un teorema de Calabi y Yau, el crecimiento del volumen de $M$ es al menos de lineal. Me pregunto si la siguiente afirmación es cierta:

Sea $p$ sea cualquier punto fijo en $M$ et $B(p, r)$ sea la bola de distancia de radio $r$ en $M$ . Entonces, para cualquier $R>0$ existe una constante $c=c(p,R)>0$ tal que $Area(\partial B(p, r))\ge c(p,R)$ para cualquier $r>R$ .

Answer 1

La respuesta es SÍ.

Sea $b\colon M\to \mathbb R$ sea una función de Busemann para una semirrecta $\gamma$ de $p$ de modo que $b(p)=0$ et $b(x)\le 0$ para cualquier $x\in \gamma$ .

Establecer $$L_t=b^{-1}(t)\ \ \text{and}\ \ L^-_t=b^{-1}(-\infty,t].$$ Obsérvese que los conjuntos de subniveles $L_t^-$ son cóncavas de curvatura media para todo $t$ . En particular, cualquier hipersuperficie minimizadora de área en $L_t^-$ con el límite en $L_t$ se encuentra en $L_t$ .

Fijar $t<0$ . Desde arriba, $$\mathop{\rm area}\partial B(p,r)\ge\mathop{\rm area}(\partial B(p,r)\cap L_t^-)\ge \mathop{\rm area}( B(p,r)\cap L_t)\ge \mathop{\rm area}( B(p,R)\cap L_t);$$ es decir, la desigualdad se cumple para $c(p,R)=\mathop{\rm area}( B(p,R)\cap L_t)$ .

Queda por elegir $t$ et $R$ para que $\mathop{\rm area}( B(p,R)\cap L_t)>0$ ; $R=2$ et $t=-1$ hará el trabajo.

Answer 2

Esto es claramente falso, basta con considerar el cilindro

$$ R_t \times S_{\theta} $$

con la métrica del producto

$$g_\alpha=dt^2+\alpha^2 d\theta^2.$$

Se trata de una métrica plana, por lo que $Ric_{g_\alpha} = 0$ . Por otra parte, para $r>>\alpha$ es fácil ver $Area(\partial B_r)<8\pi \alpha$ . Desde $\alpha$ es arbitraria, no existe un límite inferior uniforme.

¿Tal vez necesites un límite inferior uniforme para el radio de inyectividad? (No soy un experto en geometría de comparación, así que no sé si esto sería suficiente) [Editar: O tal vez esto sólo puede suceder si la métrica se separa de un factor isométrico euclidiano].

[Por cierto, no consigo que funcionen las fuentes de la pizarra matemática. ¿Alguien más tiene problemas con esto?]