¿Por qué la integral de línea de f(x.y)=(x.y) no es cero a lo largo del círculo?

Question

Me piden que determine si f(x.y)=(x.y) es gradiente o no.

Es evidente que existe una función g cuya derivada respecto a x e y es igual a la primera y segunda componente de f.

Por lo tanto, f es gradiente.

Si f es gradiente, entonces en trayectoria cerrada , su integral de línea debe ser cero.

Consideré un círculo con radio $1$ en el origen de $0$ a $2\pi$

Esto es camino cerrado.

E integré f a lo largo del círculo y terminé obteniendo $2 \pi$ .

¿Por qué es diferente?

Answer 1

$$\int_C f(x,y)d\vec x=\int_0^{2\pi}f(\cos \theta,\sin\theta)\cdot d(\cos\theta,\sin \theta)=\int_0^{2\pi}(\cos\theta,\sin\theta)\cdot (-\sin\theta,\cos\theta)d\theta=\int_0^{2\pi}\underbrace{(-\cos\theta\sin\theta+\cos\theta\sin\theta)}_{=0}d\theta=0.$$