Si $E\subset[0,1]$ , $|E|=0$ y $f(x)=x^3$ Mostrar $|f(E)|=0$ donde $|E|$ denota la medida de Lebesgue de $E$

Question

La cuestión es

Si $E\subset[0,1]$ , $|E|=0$ y $f(x)=x^3$ Mostrar $|f(E)|=0$ donde |E| denota la medida de Lebesgue de $E$ .

¿Alguien puede dar una pista al respecto? Gracias.

Answer 1

Como el conjunto $E$ es de medida cero, para todo $\epsilon > 0$ se puede encontrar una unión contable de segmentos abiertos $I_n$ con $$E \subset \cup_{n \ge 0} I_n$$ y $$\sum_{n \ge 0} \ell(I_n) < \epsilon$$ Esta es la definición de $E$ con una medida igual a cero.

Tienes que demostrar lo mismo para $f(E)$ .