Sea $B_n$ sea el grupo de trenzas en $n$ hebras. Como es bien sabido, si $\sigma_i$ es la operación de cruzar la cuerda en la posición $i$ sobre la cadena en posición $i+1$ entonces los elementos $\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}$ generar $B_n$ y las relaciones $\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i$ ( $|i-j|\geq 2$ ) y $\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$ hacer una presentación del grupo.
Estoy interesado en un grupo que puede obtenerse de $B_n$ añadiendo otro conjunto de relaciones. Para cada $k$ define $T_k$ ser el "giro" de la primera $k$ hebras. Geométricamente, se toma la parte inferior de la primera $k$ mechones y gira la mano 360 grados de forma que los mechones de la izquierda pasen por encima de los de la derecha. En cuanto a los generadores, $T_k=(\sigma_1\dots\sigma_{k-1})^k$ ya que $\sigma_1\dots\sigma_{k-1}$ toma el $k$ la hebra más larga y la coloca a través de la siguiente $k-1$ hebras. Definamos también $S_k$ para ser el giro de derecha a izquierda de los hilos de $k+1$ a $n$ . Es decir, $S_k=(\sigma_{k+1}\dots\sigma_{n-1})^{-(n-k)}$ . (Además, tomemos $T_1$ y $S_{n-1}$ la identidad).
Me interesa el grupo que se obtiene si se empieza por $B_n$ y añadir la relación $T_kS_k=1$ para cada $k$ . Permítanme hacer algunas observaciones totalmente triviales.
Si $n=2$ entonces obtenemos el grupo cíclico $C_2$ . Eso es porque $\sigma_1$ es el único generador y $T_2S_2=\sigma_1^2$ . Si $n=3$ entonces obtenemos $S_3$ . Eso es porque $T_1S_1=\sigma_2^{-2}$ y $T_2S_2=\sigma_1^{-2}$ por lo que las relaciones que añadimos son $\sigma_1^2$ y $\sigma_2^2$ y es bien sabido que éstas, junto con las relaciones de trenza, dan una presentación del grupo simétrico.
Más allá de eso no sé qué decir, aunque me he convencido (sin una prueba) de que cuando $n=4$ el grupo es infinito: en general, parece que las relaciones adicionales se pueden utilizar para hacer sólo una cantidad limitada de destorsión. (Tengo una prueba de que hay trenzas puras que no pueden reducirse a la identidad una vez que tenemos cuatro hebras. Es un ejercicio bastante fácil y no lo daré aquí).
¿Cuál es exactamente mi pregunta? Bueno, me interesaría saber si el problema de palabras de este grupo es soluble en un tiempo razonable. Al servicio de eso, me gustaría saber si este grupo es uno que la gente ya ha mirado, o si al menos pertenece a una clase de grupos que la gente ya ha mirado. (Por ejemplo, tal vez la solubilidad del problema de las palabras se desprende de alguna teoría general). ¿Existe alguna forma de caracterizar el subgrupo de $B_n$ por el que estamos cotizando? Es decir, qué trenzas pertenecen al cierre normal del conjunto de trenzas $T_kS_k$ ? (Una forma de responder a esto sería caracterizar sus formas normales).
La motivación de la pregunta viene de parte de una respuesta que Thurston dio a una pregunta mía sobre los nudos. Me parece que esta pregunta debería ser relevante para el desanudado de nudos, pero más fácil.
Una última observación: el problema de las palabras en $B_n$ puede resolverse en tiempo polinómico. (Si mi interpretación es correcta, este es un resultado de Thurston que se basó en el trabajo de Garside). Dado que añadir más relaciones hace que más trenzas sean iguales a la identidad, pero también da más formas de convertir una palabra en otra, no está claro si el problema que estoy planteando debería ser más fácil o más difícil que el problema de palabras para grupos de trenzas. Sin embargo, mi corazonada es que es más difícil (para grandes $n$ es decir).
