Cuándo es un álgebra de Banach $C^\star$

Question

Sé que si hay suficientes elementos hermitianos en un álgebra de Banach, entonces el álgebra de Banach es estelar. En particular, estoy interesado en los dos espacios $B(L^1(S^1,\Sigma,\mu))$ el espacio de los operadores lineales limitados sobre funciones integrables de Lebesgue del círculo y $B(ba(\Sigma))$ el espacio de operadores lineales acotados sobre medidas de Borel finitas y finitamente aditivas. Conozco los resultados de que basta con tener suficientes elementos hermitianos, pero no sé muy bien cómo aplicarlos.

La cuestión surge porque estoy intentando acotar la inversa de un elemento hermitiano en función de su radio espectral. Según lo que he leído, tenemos una igualdad para $C^\star$ y una desigualdad para las álgebras de Banach.

Answer 1

Esto no es una respuesta a la pregunta planteada en tu primer párrafo (que creo que pide más de lo que necesitas y, lo que es más importante, más de lo que realmente puedes esperar). Sin embargo, para el propósito específico esbozado en su segundo párrafo, el siguiente documento podría ser útil:

H. König, A functional calculus for Hermitian elements of complex Banach a Arch. Math. (Basilea) 28 (1977), no. 4, 422-430.

IIRC, uno tiene un cálculo C^1-funcional para elementos Hermitianos en álgebras de Banach (esto se demuestra tomando la transformada de Fourier de su función C^1 después de introducir un corte suave fuera del soporte del espectro de su elemento Hermitiano). Así que si el espectro de su $x$ se encuentra en $[a,b]$ para $0 \lt a$ entonces $\Vert x^{-1}\Vert$ debe ojalá estar limitada por encima por alguna constante universal veces $a^{-2} = \rho(x^{-1})^2$ . ATENCIÓN: ¡No lo he comprobado en detalle!

Actualización: Acabo de recordar que existen teoremas según los cuales si $E$ es un espacio de Banach, $A(E)$ el álgebra de los operadores aproximables, y $X$ es un espacio de Banach reflexivo, entonces un homomorfismo de álgebra inyectivo $A(E)\to B(X)$ debe surgir de alguna incrustación de $E$ en $X$ como un subespacio cerrado y complementado. En particular, si existe un HM inyectivo $B(E) \to B(H)$ para algún espacio de Hilbert, entonces $E=H$ . Así que las dos álgebras de Banach mencionadas al principio de tu pregunta no pueden ser $C^\ast$ -álgebras.