Problema del sistema de control

Question

Estoy estudiando sistemas de control y quiero resolver el siguiente problema.

Dada la matriz de estado de rango completo $A$ (con todos los valores propios inestables), matriz de entrada de diseño $B$ tal que la función de coste $J = \operatorname{trace}(B'XB)$ se minimiza, donde $X$ es la solución de la ecuación de Ricatti en tiempo discreto (DARE). Tengo la restricción de que $(A,B)$ es estabilizable, es decir

Para un rango completo dado $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ con $\lambda_i(A)>1$ resuelve lo siguiente

\begin{array}{ll} \underset{X\in \mathbb{R}^{n\times n},B \in \mathbb{R}^{n\times m}}{\text{minimize}} & \mathrm{tr} \left( B' X B \right)\\ \text{subject to} & X=A'X(I+BB'X)^{-1}A\\&(A,B)\text{ is stabilizable}\end{array}

A mi entender, dado que todos los valores propios de $A$ están fuera del círculo unitario (sistema de tiempo discreto), podemos cambiar la condición $(A,B)\text{ is stabilizable}$ con $(A,B)\text{ is controllable}$ lo que equivale a $\mathrm{rank}([B\quad AB\quad A^2B\quad \ldots\quad A^{n-1}B])=n$ .

El problema es seguramente factible, ya que para cualquier rango completo $A$ hay $B$ tal que se satisface la condición de rango y podemos resolver DARE.

Answer 1

Traté de usar problema dual, tal vez alguien me puede ayudar a terminarlo. Mediante la creación de azar $B$ normalmente obtenemos un par estabilizable $(A,B)$ así que ignoremos la segunda restricción por ahora.

$\operatorname{trace}(B'XB)=\operatorname{trace}(BB'X)=\operatorname{trace}(AX^{-1}A'X)-\operatorname{trace}(I)$ por lo que podemos minimizar $\operatorname{trace}(AX^{-1}A'X)$ en lugar de $\operatorname{trace}(B'XB)$ .

Vuelva a escribir $X=A'X(I+BB'X)^{-1}A$ a $BB'-AX^{-1}A'+X^{-1}=0$ entonces función lagrangiana:

\begin{align} &\Lambda(B,X,V)=\operatorname{trace}(AX^{-1}A'X)+\operatorname{trace}(V'BB')-\operatorname{trace}(V'AX^{-1}A')+\operatorname{trace}(V'X^{-1}),\\ &\frac{\partial \Lambda(B,X,V)}{\partial B}=(V'+V)B=0,\\ &\frac{\partial \Lambda(B,X,V)}{\partial B}=(AX^{-1}A'-X^{-1}A'XAX^{-1})+(X^{-1}A'VAX^{-1})-(X^{-1}VX^{-1})=0. \end{align}

entonces definimos $g(B,X,V)=\inf_{B,X} \Lambda(B,X,V)$ y el problema dual se convierte: $\max_V g(B,X,V)$ .

En primer lugar, tenemos que averiguar qué $B$ y $X$ minimizar $g(B,X,V)$ . Suponiendo que $V'+V$ y $B$ son ambos distintos de cero, he descubierto que o bien $V'+V$ o $B$ debe ser singular para satisfacer $(V'+V)B=0$ .