Has escrito una ecuación afín para la curva retorcida de Edwards $C$ como subconjunto de $\newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \mathbb{A}^2$ pero al mencionar los puntos $(0:1:0)$ y $(1:0:0)$ se considera implícitamente como un subconjunto de $\mathbb{P}^2$ . Sin embargo, existen otras variedades proyectivas que contienen naturalmente $\mathbb{A}^2$ como abierto, y podemos igualmente tomar el cierre de $C$ en uno de estos---ver el Coordenadas ampliadas del artículo de Wikipedia para ver algunos ejemplos.
He aquí una propuesta diferente de las que figuran en esa página: considere la posibilidad de $C \subseteq \mathbb{A}^2 \subseteq \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ y tomar su cierre en $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ . Escribir $((X_0 : X_1), (Y_0 : Y_1))$ para las coordenadas en $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ entonces podemos identificar $\A^2$ como el subconjunto abierto donde $X_1 \neq 0$ y $Y_1 \neq 0$ con coordenadas afines $x = X_0/X_1, y = Y_0/Y_1$ . (Hay una razón para elegir $\P^1 \times \P^1$ procedentes de la geometría tórica y del polígono de Newton de la ecuación de la curva de Edwards). Sustituyendo por $x$ y $y$ y despejando denominadores, encontramos que el cierre $\overline{C}$ de $C$ en $\P^1 \times \P^1$ viene dada por la ecuación bihomogénea $$ \overline{C} : a X_0^2 Y_1^2 + X_1^2 Y_0^2 = X_1^2 Y_1^2 + d X_0^2 Y_0^2 \, . $$ (Esta ecuación es bihomogénea de grado $(2,2)$ Así que $\overline{C}$ tiene género $(2-1)(2-1) = 1$ como era de esperar).
Configuración $X_1 = 0$ tenemos \begin{align*} 0 &= a X_0^2 Y_1^2 - d X_0^2 Y_0^2 = X_0^2 (a Y_1^2 - d Y_0^2) = X_0^2 \left(\sqrt{a} Y_1 - \sqrt{d} Y_0\right) \left(\sqrt{a} Y_1 + \sqrt{d} Y_0\right) \, . \end{align*} Desde $X_0 \neq 0$ (ya tenemos $X_1 = 0$ ), encontramos los dos puntos $$ ((1:0), (\sqrt{a} : \sqrt{d})), \quad ((1:0), (\sqrt{a} : -\sqrt{d})) \, , $$ posiblemente definida sobre alguna extensión del campo base. Configuración de $Y_0 = 0$ y procediendo de forma similar, encontramos dos puntos más $$ ((1:\sqrt{d}), (1:0)), \quad ((1:-\sqrt{d}), (1:0)) $$ dando 4 puntos totales en el infinito. Además, se puede demostrar que $\overline{C}$ es no singular en cada uno de estos 4 puntos, por lo que es no singular en todas partes. (Esto suponiendo $a \neq 0, d \neq 0$ y $a \neq d$ como exige la definición de curva de Edwards retorcida).
Afirmo que todos los puntos de $\overline{C}$ incluyendo los 4 puntos en el infinito encontrados arriba, forman un grupo. Además, podemos obtener la ley de grupo homogeneizando adecuadamente la fórmula para la ley de grupo en el trozo afín habitual, dada en la sección 6 de la obra de Bernstein et al. Curvas retorcidas Edwards . La fórmula para $((X_0 : X_1), (Y_0 : Y_1)) + ((X_0' : X_1'), (Y_0' : Y_1'))$ es \begin{equation} \begin{aligned} \left(\left(X_0 Y_0' X_1' Y_1 + X_0' Y_0 X_1 Y_1' : X_1 X_1' Y_1 Y_1' + d X_0 X_0' Y_0 Y_0'\right),\\ \left(Y_0 Y_0' X_1 X_1' - a X_0 X_0' Y_1 Y_1' : X_1 X_1' Y_1 Y_1' - d X_0 X_0' Y_0 Y_0' \right) \right) \, . \end{aligned} \tag{ $*$ } \label{add} \end{equation}
Esta fórmula funciona incluso para los puntos en el infinito. Por ejemplo, duplicando los puntos $((1:0), (\sqrt{a} : \pm\sqrt{d}))$ utilizando ( \ref {add}), obtenemos \begin{align*} 2 \cdot ((1:0), (\sqrt{a} : \pm\sqrt{d})) &= ((0 : d \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}), (-a \cdot (\pm\sqrt{d}) \cdot (\pm \sqrt{d}) : -d \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}))\\ &= ((0:ad), (-ad : -ad)) = ((0:1), (1:1)) \, . \end{align*} Esta es la identidad de la ley de grupo, por lo que $((1:0), (\sqrt{a} : \pm \sqrt{d}))$ son $2$ -puntos de torsión. Duplicación $((1 : \pm \sqrt{d}), (1:0))$ utilizando ( \ref {add}), encontramos $$ 2 \cdot ((1 : \pm \sqrt{d}), (1:0)) = ((0:1), (1:-1)) \, . $$ Duplicar $((0:1), (1:-1))$ obtenemos $2 \cdot ((0:1), (1:-1)) = ((0:1), (1:1))$ demostrando que $((1 : \pm \sqrt{d}), (1:0))$ son $4$ -puntos de torsión. Esto concuerda con las observaciones de la sección Puntos excepcionales para la equivalencia birracional de Bernstein et al.
