¿La enésima derivada puede expresarse así?

Question

$$ \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z) -f(z_0)}{(z-z_0)^n} $$

¿Por qué la enésima derivada puede expresarse como el límite del cociente?

Puedo entender el significado, pero no pude obtener la ecuación de forma cerrada.

Gracias.

Answer 1

Esto resulta familiar para el análisis complejo, así que permítanme una vaga puñalada en la oscuridad. Si $f$ es holomorfa de la forma $$f(z) = f(z_0) + \sum_{k=n}^{\infty}\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0)^k$$ donde $n$ es la primera derivada de orden distinto de cero, entonces se cumplirá esta expresión $$\frac{f(z)-f(z_0)}{(z-z_0)^n} = \sum_{k=n}^{\infty}\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0)^{k-n}$$ En la expresión anterior, tenemos un producto de $(z-z_0)$ en todas las legislaturas excepto $k=n$ así como $z\rightarrow z_0$ tendremos el resto $$\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{(z-z_0)^n} = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$$

Answer 2

Sea $f(z) = z^n$ y que $z_0 = 1$ es evidente que $f^{(n)}(z) = n!$ Así pues $\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = 1 \not= 0$ . Sin embargo, el lado derecho de tu definición es infinito: $$ \lim_{z \to 1} \frac{z^n - 1^n}{(z-1)^n} = \lim_{z \to 1} \left( \frac{z - 1}{(z-1)^n}\cdot \sum_{m=0}^{n-1} z^m \right) = \lim_{z \to 1} \left( \frac{n}{(z-1)^{n-1}}\right) = \cases{ 1 & n=1 \cr \infty & n >1} $$ Por lo tanto, su definición no puede ser correcta para $n>1$ .