Consideremos el ejemplo más básico, la media muestral de una muestra i.i.d. de tamaño $n$ , $\bar X_n$ .
Sabemos que como $n \rightarrow \infty$ , $\bar X_n \rightarrow \mu$ donde $\mu$ es la media común, el valor esperado, de las variables aleatorias a partir de las cuales se genera la muestra.
Así que al límite, $\bar X$ tiene un degenerado que es la manera formal de decir que converge a una constante. Los términos constantes pueden considerarse como degenerado variables aleatorias. Solemos decir que "las constantes no tienen distribución", pero como a veces las cuestiones de existencia (lo que significa que la frase "la distribución no existe" significa correctamente que la estadística que examinamos va al infinito a medida que el tamaño de la muestra va al infinito), la forma correcta de distinguir los dos casos es decir "la distribución de una constante es degenerada".
¿Y qué hacemos para obtener una distribución asintótica no degenerada? Creamos una función de la media muestral, que no converge a una constante, pero tampoco diverge. En el caso de la media muestral, esta función es $\sqrt n(\bar X_n -\mu)$ .
Con un espíritu análogo, en la Teoría del Valor Extremo, los estadísticos de orden extremo, o bien divergen (si la distribución tiene soporte no acotado), o bien tienden a una constante (si la distribución tiene soporte acotado por su parte). En ambos casos, no obtenemos una distribución límite. Así que tenemos que encontrar una función del estadístico de orden extremo, que convergerá a una variable aleatoria no constante y por lo tanto, con una distribución utilizable. Las secuencias deterministas $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ junto con la estadística, crean esta función. Encontrar estas secuencias no es tan sencillo, véase por ejemplo este puesto.
En cuanto al ejemplo dado por @Glen_b para el estadístico de orden máximo a partir de un Uniforme $U(0,1)$ (una distribución con soporte acotado), intuitivamente, al aumentar el tamaño de la muestra, obtendremos al menos un realización de la variable aleatoria que es exactamente igual a su límite superior. Pero esto significa que $X_{(n)} \rightarrow \max X$ que es una constante, por lo que tiene una distribución degenerada. Así que tenemos que encontrar una función de $X_{(n)}$ que no diverge y sí converge a una variable aleatoria. En el caso concreto, esta función es efectivamente $Z = n(1-X_{(n)})$ . Para ver esto, utilice la fórmula de cambio de variable para encontrar que
$$Z =n(1-X_{(n)}) \Rightarrow X_{(n)} = 1-\frac Zn \Rightarrow \left|\frac {\partial X}{\partial Z} \right|= \frac 1n$$
y observe que $Z \in [0,n]$ . Por lo tanto
$$f_Z(z) = \left|\frac {\partial X}{\partial Z} \right| f_{X_{(n)}}(1-z/n) = \frac 1n \left (nf_X(1-z/n)[F_X(1-z/n)]^{n-1}\right)$$
Pero $f_X(\cdot) =1$ y $F_X(x) =x$ . Así que
$$f_Z(z) =\left(1-\frac zn\right)^{n-1}$$
y
$$F_Z(z) = \int_{0}^z\left(1-\frac tn\right)^{n-1}dt = 1-\left(1-\frac zn\right)^{n}$$
Entonces
$$\lim_{n\rightarrow \infty}F_Z(z) = 1-\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac zn\right)^{n} = 1-e^{-z}$$
que es la función de distribución de una exponencial estándar (es decir, con valor medio $1$ ).
