¿El uso de la clase GACION y centralizador?

Question

Esto es más o menos conceptual y mejor comprensión de la cuestión en la teoría de grupos y teoría de la representación:

(1) ¿por Qué clase conjugacy y centralizador conceptos importantes en el grupo / teoría de la representación? ¿Cuál es la importancia del uso de la clase conjugacy y centralizador de un elemento $g$ en un grupo de $G$?

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(2) ¿Cómo es el caso de la clase conjugacy y centralizador de un elemento $g$ en un grupo finito $G$, diferente de la de un grupo continuo $G'$?

Answer 1

Resumen grupos son objetos fascinantes por su propia cuenta, sino que sólo son realmente útiles si se puede utilizar en otras estructuras. Para ello, es necesario el concepto de un grupo de acción.

Clases Conjugacy y centralizadores están relacionados con un determinado tipo de la acción de grupo, un grupo que actúa sobre sí mismo por conjugación, es decir, $g\cdot x= g^{-1}xg$. Esta acción nos da un montón de información sobre el grupo. Las clases conjugacy encajar en esta foto como las órbitas de los elementos de $G$ el marco de esta acción, mientras que los centralizadores son sus estabilizadores.

Una vez que te acostumbras a cómo las acciones del grupo de trabajo, se hace mucho más fácil ver la importancia de las clases conjugacy y centralizadores. Para un ejemplo elemental, se puede decir que $\left|\mathcal{O}_x\right|=[G:C_G(x)]$ cualquier $x$. Es bueno saber cuántos de los elementos de un determinado elemento es conjugado a, y es muy interesante que este número debe dividir el orden del grupo.

Para un menor de primaria ejemplo, podemos ver cómo los grupos de actuar en otros conjuntos. Una representación de un grupo de $G$ es un homomorphism $G\rightarrow \operatorname{GL}(V)$ donde $V$ es un espacio vectorial. Por lo general, estamos más interesados en las representaciones en $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$. Un personaje es lo que llamamos la traza de una representación.

Los personajes no son necesariamente homomorphisms, pero, como resulta que, son funciones de clase, lo que significa que si $\chi$ es un personaje, a continuación, $\chi(x)=\chi(y)$ siempre $x$ $y$ están en la misma clase conjugacy de $G$. Por lo tanto, si conocemos todas las clases conjugacy del grupo, podemos mucho más fácilmente calcular los caracteres de las representaciones (y digo un montón de cosas acerca de ellos también). Usted puede ver por qué sería útil para ello, como simetrías de espacios vectoriales son esenciales para las matemáticas en general.

Answer 2

Creo que la clase de conjugación se utiliza en la prueba de los teoremas de Sylow.

Answer 3

Hay varias razones por las que en teoría de grupos finitos. Conjugacy es una relación de equivalencia, y por lo tanto se rompe el grupo como un grupo distinto de la unión de clases de equivalencia se llama conjugacy clases. Una ecuación importante es la modificación de la clase de ecuación, la cual establece que $|G| = |Z(G)|+ \sum_{i=1}^{n}[G:C_{G}(x_{i})],$ donde $x_{1},x_{2}\ldots, x_{n}$ son representantes de las clases conjugacy de tamaño mayor que una de $G$ (la clase conjugacy de $x$ tiene el tamaño de uno si y sólo si $x \in Z(G)).$ Esto conduce rápidamente a una prueba de Sylow del teorema, como Kaa1el implícitamente indicado. Otro hecho importante, demostró que el uso de los personajes de un grupo, es Burnside del Teorema de que en un número finito no Abelian simple grupo de no-identidad elemento puede estar en una clase conjugacy cuyo tamaño es una potencia de un primo. Esto lleva rápidamente a Burnside del Teorema de que un grupo finito de orden $p^{a}q^{b}$ es solucionable al $p,q$ son los números primos y los $a,b$ son enteros positivos. Hay muchos otros usos. En ambos infinito y lo finito de los grupos, la noción de conjugacy es útil en la exhibición de la estructura. Por ejemplo, la descomposición de las permutaciones como el producto de ciclos disjuntos hace que la relación de conjugacy especialmente transparente en el grupo simétrico. La noción de la forma normal de Jordan hace que las clases conjugacy en ${\rm GL}(n,F)$ transparente al $F$ es algebraicamente cerrado de campo. La noción racional de la forma canónica hace que las clases conjugacy en ${\rm GL}(n,F)$ transparente al $F$ es no necesariamente algebraicamente cerrado de campo (forma normal de Jordan es en realidad un caso especial de la segunda) . Hay muchos, muchos, otros ejemplos son sólo un par de ilustraciones.

Answer 4

Puede demostrar la simplicidad de $A_n$ utilizando el concepto centralizador y GACION, porque un grupo normal es una Unión de clases GACION. A pesar de ser un caso especial de un concepto más amplio (es decir, acciones de grupo), GACION tienen una profunda conexión con normalidad.

Answer 5

Un atributo básico de una operación binaria es su conmutatividad es decir,$xax^{-1}=a$ para todos los$a,x\in G$. Cuando esta propiedad no se cumple entonces uno se pregunta para el siguiente mejor, o una medida del fracaso de conmutatividad: Así que si$xax^{-1}$ se considera algo más cerca de$a$ cuando no es$a$. Son los elementos conjugados a$a$ como$x$ varía en$G$.