Representación integral de derivadas de orden superior

Question

Tengo bastante curiosidad por los siguientes fenómenos, que todavía me desconciertan aunque tengo una prueba, y me alegraría mucho si alguien pudiera arrojar algo de luz, mostrando una interpretación o una generalización. Esbozaré los cálculos a petición, que consisten en una manipulación de la fórmula integral del resto de la expansión de Taylor.

1. Sea $v\in C^\infty(\mathbb{R})$ desapareciendo en $0$ con cierto orden $p\in\mathbb{N} _ +$ . En otras palabras, la serie de Taylor formal de $v$ en $0$ pertenece al ideal $x^p\mathbb{R}[[x]]$ . Entonces, la función $w(x):=v(x)/x^p$ es también (extensible a) un $C^\infty(\mathbb{R})$ y podemos expresar la función $k-$ derivada de orden de $w$ en $x$ (decir $x\ge0$ ) en términos de las derivadas de orden $k+p$ de $v$ en $[0,x]$ como sigue:

$$\frac{w^{(k)}(x)}{k!}=\frac{\int_0^x (x-s)^{p-1}s^k\, \frac{v^{(k+p)}(s)}{(k+p)!}ds}{\int_0^x (x-s)^{p-1}s^k\, ds} \, . $$ En otras palabras, el $k-$ coeficiente de Taylor de $w$ en $x$ es una media integral del $(k+p)-$ coeficientes de Taylor de $v$ ponderada con una distribución Beta sobre $[0,x]$ . Esto está muy claro si $x=0$ y $v$ es analítico allí, y no inmediatamente obvio en general, ¿pero tiene un significado especial, o es una instancia de un principio más general?

2. Sea $u\in C^\infty(\mathbb{R})$ y supongamos que la serie de Taylor formal de $u$ en $0$ pertenece a $\mathbb{R}[[x^2]]$ . Entonces, la función $w(x):=u( \sqrt { x } ) $ también es (extensible a) una $C^\infty(\mathbb{R})$ y podemos expresar la función $k-$ derivada de orden de $w$ en $x^2$ en términos de $2k-$ derivadas de orden de $v$ en $[0,x]$ como sigue:

$$w^{(k)}(x^2)=\frac{\, (2x)^{-2k+1}}{(k-1)!\, }\, \int_0^x (x^2-t^2)^{k-1}u^{(2k)}(t) dt\, $$ (esto también puede escribirse como una igualdad que relaciona los coeficientes de Taylor mediante una media integral).

3. También existe una declaración más general para una función $w(x):=u(x^{1/p})$ para $p\in\mathbb{N} _ +$ suponiendo que la serie de Taylor formal de $u$ está en $\mathbb{R}[[x^p]]$ ; el $k-$ coeficiente de Taylor de $w$ en $x^p$ es entonces una media integral del $kp-$ coeficientes de Taylor de $v$ apoyado en $[0,x]$ con determinadas densidades en función de $p$ y $n$ definidos de forma recursiva. ¿Existe un enunciado más general que conecte de forma análoga las operaciones en $\mathbb{R}[[x]]$ y $C^\infty$ funciones mediante la integral de sus series formales de Taylor?

Answer 1

1. Esto se deduce directamente del desarrollo de Taylor para ordenar $p-1$ con resto integral: $$ f(x) = 0+ \dots + 0+ x^p \int_0^1\frac{(1-t)^{p-1}}{(p-1)!}f^{(p)}(tx)dt. $$ Sus fórmulas son versiones diferenciadas de esto.

2. Por Whitney (Duke Math J. 10, 1943), si $f$ es invariante bajo la $\mathbb Z/(2)$ -acción $x\mapsto -x$ en $\mathbb R$ entonces $f(x)=g(x^2)$ para algunos suaves $g$ . Gleaser (Ann. Math. 77, 1963) lo amplió de la siguiente manera: Si $f\in C^\infty(\mathbb R^n)$ es invariante bajo todas las permutaciones de las coordenadas, entonces $f(x)=g(\sigma_1(x),\dots,\sigma_n(x))$ para una función suave $g$ en las funciones simétricas elementales $\sigma_i$ . G. Schwartz (Topología 14, 1975) extendió esto para cualquier representación de un grupo de Lie compacto $G$ en $\mathbb R^n$ para cualquier sistema generador $\rho_1,\dots,\rho_k$ del álgebra de $G$ -polinomios invariantes: $\rho^\star: C^\infty(\mathbb R^k)\to C^\infty(\mathbb R^n)^G$ es suryectiva. Mather (Topology 16, 1977) reprobó esto y demostró que existe una sección lineal continua de $\rho^\star$ . Luna (Ann Inst Fourier 26, 1976) lo extendió a los grupos reductores de Lie.
   La relación con su pregunta es la siguiente: Usted requiere sólo que la serie de Taylor de $f$ en cero es invariante bajo $x\mapsto -x$ . Así que $\tilde f(x) = \frac12(f(x)+f(-x))$ . Entonces $\tilde f - f$ es infinitamente plana en 0, por lo que $(\tilde f- f)(\sqrt x)$ para $x\ge 0$ tiene sentido y es suave y puede extenderse a una función suave $g$ en $\mathbb R$ uniformemente, imparmente o por 0. $\tilde f(x) = \tilde g(x^2)$ para algunos suaves $\tilde g$ . Entonces $\tilde g -g$ es lo que buscabas. Esta receta funciona para todas las representaciones de grupos compactos integrando sobre el grupo.

3. Considere $F(z) = f(Re(z))$ y que $\mathbb Z/(p)$ actuar $\mathbb C$ por $z\mapsto e^{2\pi i k/p}.z$ donde $k=0,1,\dots p-1$ . Entonces estamos en la situación de 2. Los polinomios reales invariantes están generados por $Re(z^p)$ y $Im(z^p)$ . Integrar sobre $\mathbb Z/(p)$ y utilizar funciones planas como en 2.

Answer 2

Hola,

He encontrado tu pregunta por casualidad y me he dado cuenta de que tus integrales se parecen mucho a las derivadas fraccionarias. Creo que proporcionan la generalización que estás buscando.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_derivative

Sé que esto no responde totalmente a su pregunta, pero debería ser un buen lugar para empezar a buscar. Buena suerte.