$A$ es una matriz simétrica real y $E_1$ es una matriz cuyo $11$ entrada es $1$ y el resto son $0$ . Más información en $A$ y $E_1$ no te desplaces. ¿Qué se puede decir de los valores propios de $A+E_1$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
¿Qué se puede decir de los valores propios de $A+E_1$ ?
No mucho, creo. Sólo considere $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$. This matrix leaves alone the span of $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ y niega el alcance de $\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$ . Por tanto, sus valores propios son $1$ y $-1$ .
Pero $A+E_1=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$ . Esta matriz tiene polinomio característico $t^2-t-1$ con valores propios de las proporciones áureas $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Es un poco difícil imaginar que haya alguna forma sistémica en la que estos valores propios se relacionen con la $-1$ y $1$ valores propios de $A$ .
Nota, si $A$ y $E_1$ do conmutan, entonces como $AE_1$ es una matriz de todos ceros excepto la primera columna es $A$ y $E_1A$ es una matriz de todos ceros excepto la primera fila es $A$ entonces se puede deducir $A=\begin{bmatrix}a_{11}&0\\0&B\end{bmatrix}$ . Así que $A$ tiene $a_{11}$ como valor propio, y más valores propios que comparte con $B$ . Entonces $A+E_1$ tiene estos mismos valores propios de $B$ sino que sustituye a $a_{11}$ con $a_{11}+1$ .
GmonC
Puntos
114
La matriz $A+E_{1,1}$ sigue siendo simétrica real. De hecho, puede ser cualquier matriz simétrica real que tenga al menos una entrada no cero fuera de la diagonal en su primera columna (debido a la condición de no conmutación). Lo que se puede decir de sus valores propios y vectores propios es precisamente lo que se puede decir de ellos para una matriz simétrica real arbitraria (valores propios reales, espacios propios ortogonales), más el hecho de que el primer vector de base estándar no es un vector propio.
