Empezar con A una categoría abeliana y formar la categoría derivada D(A). Tomemos un triángulo (no necesariamente distinguido) y tomemos su cohomología. Obtenemos una secuencia larga (no necesariamente exacta). Si el triángulo se distingue es exacto. ¿Y a la inversa: si la sucesión larga en cohomología es exacta, se deduce que el triángulo se distingue? (Creo que no, pero no encuentro un contraejemplo).
Respuestas
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Una propiedad importante de la categoría derivada es que los triángulos distinguidos no sólo producen largas secuencias exactas en cohomología. Si A -> B -> C -> A[1] es un triángulo exacto y E es otro objeto de la categoría derivada, entonces se obtiene una secuencia exacta larga
... Hom(A\[1\],E) -> Hom(C,E) -> Hom(B,E) -> Hom(A,E) -> Hom(C\[-1\],E) -> ...donde estos Hom-sets son conjuntos de mapas en la categoría derivada.
Un contraejemplo concreto es el siguiente. Podemos ver cualquier grupo abeliano como un complejo de cadenas concentrado en grado cero. Hay un triángulo distinguido como sigue:
ℤ -> ℤ -> ℤ/2 -> ℤ\[1\]Sin embargo, podemos tomar el último mapa ℤ/2 -> ℤ[1] de la secuencia (que no es cero en la categoría derivada) y sustituirlo por el mapa cero. Esto nos sigue dando una secuencia exacta larga sobre grupos de (co)homología. Sin embargo, si dejamos que E = ℤ/2, entonces aplicando mapas en la categoría derivada de nuestro nuevo triángulo no distinguido nos da la secuencia
... 0 -> Hom(ℤ/2,ℤ) -> Hom(ℤ,ℤ) -> Hom(ℤ,ℤ) -> Ext(ℤ/2,ℤ) -> 0 ...donde el último mapa es inducido por el cero de ℤ/2[-1] a ℤ, por lo que debe ser cero. Esta secuencia no puede ser exacta, por lo que el nuevo triángulo no se distingue.
EDITAR : Una pregunta más sutil que esto sugiere es: "Supongamos que tengo un triángulo y, para cualquier E, la aplicación de Map(-,E) o Map(E,-) da una secuencia exacta larga. ¿Es esto un triángulo distinguido?"
En realidad, la respuesta sigue siendo no. Siguiendo considerando complejos encadenados de grupos abelianos, tomemos el triángulo distinguido
ℤ -> ℤ -> ℤ/3 -> ℤ\[1\]donde llamaré al último mapa β (por Bockstein). Se puede tomar este triángulo distinguido y sustituir β por su negativo -β. El nuevo triángulo sigue induciendo secuencias exactas largas en los mapas de entrada o de salida (porque los mapas del triángulo tienen el mismo núcleo y la misma imagen). Sin embargo, como ejercicio demuestre que esto no puede ser un triángulo disntinguido porque no es isomorfo al triángulo distinguido original.
Damian Powell
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Sólo quería señalar que este fallo es bastante normal y no patológico. Como punto de partida, puede fallar de forma más general de lo que señala Tyler. Por ejemplo, existen triángulos que dan largas secuencias exactas bajo cualquier functor homológico preservador del producto a una categoría abeliana [AB4*] que no son distinguibles. En general, para un triángulo distinguido no contractible el morfismo
X -> Y -> Z -> X\[1\]
|0 |0 | |0
v v v v
Y -> Z ->X\[1\]->Y\[1\]donde el mapa vertical no etiquetado se produce a través de [TR3] tendrá un cono de mapeo que es tal triángulo.
Más concretamente (bueno un poco) en la línea de los ejemplos de Tyler se puede considerar K^b(Z)^{-} la categoría de homotopía acotada de grupos abelianos pero sin su clase de triángulos distinguidos y declarar que un triángulo (u,v,w) (estos son los morfismos que ocurren en él) en K^b(Z)^{-1} es distinguido si y sólo si (-u,-v,-w) es un triángulo en K^b(Z) con su triangulación habitual. Esto hace de K^b(Z)^{-1} una categoría triangulada (de hecho, la colección de triángulos que los buenos functores homológicos envían a secuencias exactas largas se comporta bastante bien y uno puede demostrar un montón de hechos estándar en tal generalidad), pero estas dos categorías no son equivalentes en triángulos.
Mykroft
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