¿Por qué es continua dicha función?

Question

¿Puede alguien ayudarme a ver por qué la función $f: \bar{\mathbb{Q}} \to \mathbb{Q} $ donde $\bar{\mathbb{Q}}$ denota el conjunto de números algebraicos, $$f(x)=\begin{cases}1,&\ \text{if the real part of $x$ is greater than $\pi$, and}\\ 0,&\ \text{otherwise.}\end{cases}$$

¿es continua?

Answer 1

Tenga en cuenta que $z \in \mathbb C$ es algebraico sobre $\mathbb Q$ sólo si $Re(z), Im(z)$ son algebraicas sobre $\mathbb Q$ . Ahora, para demostrar que $f$ es continua sólo tenemos que demostrar que $f^{-1}[0]$ y $f^{-1}[1]$ están cerrados. En efecto, $f^{-1}[1]$ son precisamente esos $z \in \overline{\mathbb Q}$ tal que $Re(z) > \pi$ . Desde $Re(z)$ es algebraico y $\pi$ es trascendental, $Re(z) > \pi$ si $Re(z) \geq \pi$ . Ahora, dejemos que $S \subseteq \mathbb C$ definirse como $\{z \in \mathbb C : Re(z) \geq \pi\}$ . El mapa $Re: \mathbb C \longrightarrow \mathbb R$ es sólo proyección, por lo que es continua. Por lo tanto, $S = Re^{-1}[[\pi, \infty)]$ está cerrado. Además, como se discutió, $S \cap \overline{\mathbb Q} = f^{-1}[1]$ . Entonces como $S$ está cerrado en $\mathbb C$ , $S \cap \overline{\mathbb Q} = f^{-1}[1]$ es cerrado en la topología del subespacio.

$f^{-1}[0]$ consiste en $Re(z) \leq \pi$ por lo que esencialmente el mismo argumento muestra $f^{-1}[0]$ está cerrado. Por lo tanto, $f$ es continua.