Es bien sabido que
R: La serie de los recíprocos de los primos diverge
Mi pregunta es si la propiedad A es en algún sentido una verdad fuertemente ligada a la naturaleza de los números primos.
La propiedad A nos dice que los primos son un grasa subconjunto de $\mathbb{N}$ . ¿Hay alguna forma de definir una topología en $\mathbb{N}$ tal que todo subconjunto denso de $\mathbb{N}$ (en esta topología) corresponde a un grasa subconjunto de los números naturales?
¿Qué opina al respecto?
Sí, es posible. Definamos los conjuntos cerrados como los conjuntos cuya suma de recíprocos converge, junto con $\mathbb{N}$ . Esta colección de subconjuntos es cerrada bajo intersección arbitraria y unión finita, por lo que sí forma los conjuntos cerrados de una topología.
Un subconjunto de $\mathbb{N}$ es denso en esta topología si su cierre es $\mathbb{N}$ es decir, si no está contenido en ningún conjunto cerrado más pequeño, es decir, si no está contenido en ningún conjunto cuya suma de recíprocos converja. Esto equivale a que la suma de sus recíprocos no converge.
Por el teorema de Fubini, la suma de los recíprocos de los primos es igual a $\int_1^\infty \frac{\pi(x)}{x^2}\ dx$ donde $\pi(x)$ es el número de primos menores que x. El teorema de los números primos nos dice que $\pi(x) \sim x/\log x$ para x grande, lo que implica la divergencia de esta integral. (Aquí no se necesita toda la fuerza de la PNT; el hecho más elemental de que $\pi(x)$ está limitada desde abajo por un múltiplo constante de $x / \log x$ sería suficiente). Una variante de este argumento demuestra que $\sum_{p \leq x} 1/p = \log \log x + O(1)$ (de nuevo, esto también puede demostrarse por medios más elementales - véase el teorema de Mertens).
El mismo argumento muestra que conjuntos algo más delgados que los primos también tendrían esta propiedad, por ejemplo, cualquier conjunto para el que el análogo de $\pi(x)$ es asintóticamente mayor que $x / \log x \log \log x$ o $x / \log x \log \log x \log \log \log x$ seguirían siendo divergentes. Por otra parte, si el análogo de $\pi(x)$ es $O( x / \log^{1+\varepsilon} x )$ para algunos $\varepsilon > 0$ entonces se tendrá convergencia. Así que los primos están cerca del borde del conjunto más escaso con esta propiedad (como ya se podía adivinar por el crecimiento doble logarítmico de la suma).
Por ejemplo, la teoría del tamiz nos dice que el número de primos gemelos menores que x es $O( x /\log^2 x)$ lo que implica el teorema de Brun de que la suma de recíprocos de primos gemelos converge.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
