Demostrar que el orden del producto de dos elementos de un grupo finito es producto de órdenes

Question

Sea $G$ sea un grupo abeliano finito y $x,y \in G$ de modo que el orden de $x$ y $y$ es coprimo. Entonces el orden del elemento $xy$ es el producto de los órdenes de $x$ y $y$ .

Pensamientos. Sea $p$ sea el orden de $x$ y $q$ sea el orden de $y$ . Entonces todos los elementos de $\langle xy \rangle$ tienen la forma $x^my^n$ para $m,n \in \mathbb{N}$ . Evidentemente, $(xy)^{pq} = 1$ . Así, el orden de $xy$ divide $pq$ . Espero que así sea. Ahora me gustaría utilizar el coprimeness de $p$ y $q$ lo que significa $\mathrm{lcm}(p,q) = pq$ . ¿Se deduce de ahí la afirmación?

Answer 1

Ponga $o(x)=m$ , $o(y)=n$ y $o(xy)=k$ . Desde $G$ es abeliano, tenemos $(xy)^{mn}=x^{mn}y^{mn}=(x^m)^{n}(y^n)^m=1$ . Por lo tanto $k \mid mn$ . Desde $gcd(m,n)=1$ los subgrupos $\langle x \rangle$ y $\langle y \rangle$ tienen intersección trivial (si $g \in \langle x \rangle \cap \langle y \rangle$ entonces $o(g)$ divide ambos $m$ y $n$ Así que $g=1$ ). Supongamos ahora que $o(xy)=k$ entonces $x^ky^k=1$ de donde $x^k=y^{-k} \in \langle x \rangle \cap \langle y \rangle$ . Así que $x^k=1=y^{-k}$ lo que significa que $m \mid k$ y también desde $y^k=1$ , $n \mid k$ . Pero $m$ y $n$ son relativamente primos, por lo que también $mn=lcm(m,n) \mid k$ y ya está.

Answer 2

Tenga en cuenta que $p$ y $q$ son relativamente primos, existe una solución $n$ a la ecuación $$ \begin{cases} n \equiv 0 \pmod p\\ n \equiv 1 \pmod q \end{cases} $$ para que $(xy)^n = y$ . Del mismo modo, existe un $n$ tal que $(xy)^n = x$ . Desde $\langle xy \rangle$ contiene elementos de orden $p$ y $q$ su orden debe ser al menos $\operatorname{lcm}(p,q)$ .

En particular: si $ap + bq = 1$ para números enteros $a$ y $b$ entonces podemos tomar $n = ap$ entonces $n = bq$ .