¿Puedo hacer biyectiva cualquier función inyectiva Parcheando el codominio?

Question

Tengo una función $f$ que es inyectiva desde $\mathbb R \to \mathbb R$ pero no suryectiva, es decir, la imagen $f$ no es todo $\mathbb R$ . ¿Puedo hacer $f$ biyectiva mediante Parcheando el codominio y eliminando cualquier parte que no esté en la imagen?

Answer 1

Sí. Entonces tienes una nueva función $g \colon \mathbb{R} \to \operatorname{Im} (f)$ tal que $g(r) := f(r)$ para cada $r \in \mathbb{R}$ que es claramente suryectiva. Esto se llama restringir el codominio . Nótese que la función no necesita ser inyectiva para hacer esta construcción.

Del mismo modo, si tu función no es inyectiva, puedes restringir el dominio para hacer una función inyectiva concordante. Pero no hay una única manera de hacer esto.