Subgrupos finitamente presentados de GL(n,C)

Question

He aquí dos preguntas sobre grupos finitamente generados y finitamente presentados (FP):

1) ¿Existe algún ejemplo de grupo FP que no admita un homomorfismo a $GL(n,C)$ con núcleo trivial para cualquier n?

La segunda pregunta se modifica según la pregunta de Greg.

2) Para qué $n$ dados dos subgrupos de $GL(n,C)$ generados por listas explícitas de matrices, junto con listas finitas de relaciones y la promesa de que son suficientes, ¿existe un algoritmo para determinar si son isomorfos como grupos?".

En ambos casos no imponemos ninguna conidición al grupo (aparte de ser FP), en particular no necesita ser discreto en $GL(n,C)$ .

Answer 1

Este documento muestra que la respuesta a 2) es falsa en la categoría de grupos finitos residualmente presentados. Sin embargo, como señala Greg, esto es diferente de la categoría de grupos lineales finitamente presentados.

Addendum: En un artículo de Bridson y Miller (que encontré a partir del enlace de Igor al estudio de Miller), muestran que el problema de isomorfismo para subgrupos de $\Gamma\times\Gamma\times F$ es indecidible, donde $\Gamma$ es un grupo hiperbólico particular (que está generado libre-por-finito) y $F$ es gratis. Como se menciona en el artículo, Mosher construyó grupos hiperbólicos libres por superficie, que por lo tanto podrían funcionar como $\Gamma$ . Estos grupos se incrustan en el grupo de clases cartográficas de la superficie una vez perforada, por lo que si los grupos de clases cartográficas de las superficies una vez perforadas son lineales, esto respondería a 2). Sin embargo, los únicos grupos de clases cartográficas que se sabe que son lineales son los grupos de esferas/tramas perforadas y el grupo de clases cartográficas de género 2.

Answer 2

Esta encuesta de Chuck Miller analiza, entre otras cosas, el problema del isomorfismo para grupos lineales (y también para otras clases de grupos). El diagrama de flujo en la página 31 afirma que para grupos lineales finitamente generados el problema de isomorfismo es generalmente irresoluble, mientras que parece que para grupos lineales finitamente presentados el problema de isomorfismo es abierto.

Por cierto, los grupos finitamente presentados son por definición finitamente generados (tienen presentación finita), así que creo que FGFP es simplemente FP.

Answer 3

Disculpadme chicos, pero creo que es cierto que los grupos de permutación $S_m$ no admitirá una representación fiel en dimensión $n$ si $m>>n$ ? Ciertamente puedo ver esto para $m>2n$ al menos. Así que esto dará contablemente muchos ejemplos de grupos finitamente presentados que no admiten homomorfismo inyectivo a $GL(n,C)$ como quería Dimitri en su pregunta (1). Mi afirmación puede verse mediante un cálculo combinatorio elemental sobre la involución en los espacios respectivos o mediante la clasificación de la representación irreducible de $S_n$ (que sean de identidad, de signo o estándar). No tenemos que invocar ningún teorema de alto poder para hacer esto IMHO. Salud.