Subgrupos finitamente presentados de GL(n,C)

Question

He aquí dos preguntas sobre grupos finitamente generados y finitamente presentados (FP):

1) ¿Existe algún ejemplo de grupo FP que no admita un homomorfismo a $GL(n,C)$ con núcleo trivial para cualquier n?

La segunda pregunta se modifica según la pregunta de Greg.

2) Para qué $n$ dados dos subgrupos de $GL(n,C)$ generados por listas explícitas de matrices, junto con listas finitas de relaciones y la promesa de que son suficientes, ¿existe un algoritmo para determinar si son isomorfos como grupos?".

En ambos casos no imponemos ninguna conidición al grupo (aparte de ser FP), en particular no necesita ser discreto en $GL(n,C)$ .

Answer 1

He aquí una imagen más completa que acompaña a las respuestas de David y Richard.

Es un teorema de Malcev que un grupo finitamente presentado $G$ es residualmente lineal si y sólo si es residualmente finita. La demostración es muy intuitiva: Las ecuaciones para una representación matricial de $G$ son algebraicas, por lo que existe una solución algebraica si existe alguna solución. Entonces se puede reducir el campo de la solución a un campo finito, siempre que se eviten todos los primos que aparecen en los denominadores de las matrices.

La misma prueba demuestra que $G$ no tiene representaciones lineales no triviales si y sólo si no tiene subgrupos de índice finito. Por tanto, el grupo de Higman tiene esta propiedad.

Una cuestión refinada es encontrar un grupo finitamente presentado que sea residualmente finito, pero que sin embargo no sea "lineal" en el sentido de tener una única representación fiel de dimensión finita. Parece que el grupo de automorfismo de un grupo libre finitamente generado, $\text{Aut}(F_n)$ es un ejemplo. Nielsen encontrado una presentación finita para este grupo, también es se sabe que es residualmente finito Sin embargo Formanek y Procesi demostró que no es lineal cuando $n \ge 3$ . Más recientemente, Drutu y Sapir encontró un ejemplo con dos generadores y un relator.

Answer 2

El siguiente contraejemplo se debe a Higman me enteré por Blog de Terry Tao .

Consideremos el grupo con generadores $a$ , $b$ , $c$ y $d$ y relaciones $ab=b^2a$ , $bc=c^2 b$ , $cd=d^2c$ y $da=a^2d$ . Este grupo es infinito (de hecho, el subgrupo generado por $a$ y $c$ es libre), pero no tiene un mapa no trivial a $GL_{n}(\mathbb{C})$ .

Véase el post de Terry, especialmente la Observación 2, donde se expone muy bien este hecho.

Answer 3

Otro buen ejemplo es el Baumslag-Solitar grupo $\langle a,b \ | \ ab^2a^{-1} = b^3 \rangle$ que no es hopfian y por lo tanto no es residualmente finito, y por lo tanto no puede ser lineal.

Answer 4

Puede combinar el documento Bridson--Miller que menciona Agol con trabajo reciente de Haglund y Wise para demostrar que el problema algorítmico de la parte (2) de la pregunta no siempre tiene solución. La versión de Haglund y Wise de la Construcción de Rips toma como entrada cualquier grupo Q finitamente presentado y da como salida una secuencia exacta corta

1 -> K -> G -> Q -> 1

donde K está finitamente generado (y es infinito) y G es un subgrupo hiperbólico sin torsión de GL(n,Z). Tomando Q como un grupo libre no abeliano, el G resultante funcionará como entrada para el resultado Bridson--Miller.

Así que no hace falta demostrar que los grupos de clases cartográficas son lineales.

Observaciones

• No está claro cómo de pequeño puede ser n. Será bastante grande en esta construcción.
• En un próximo trabajo de Bridson y de un servidor en una línea similar, demostramos que las hipótesis de la parte (2) son en realidad bastante difíciles de alcanzar. Producimos una secuencia de conjuntos finitos de matrices enteras que generan cada uno un grupo finitamente presentable, pero tal que no hay algoritmo para calcular una presentación para estos grupos.

Answer 5

Sólo quería hacer un comentario sobre el teorema de Mal'cev (si pudiera dejarlo como comentario, lo haría).

El artículo de Mal'cev es una gran exposición del teorema, así como un lote de otro material relacionado, todo ello escrito en un estilo básico pero esclarecedor.

Además, si sabes un poco de álgebra conmutativa (como en el Nullstellensatz, el que se da en Eisenbud pág. 132), hay una demostración rápida y fácil del teorema de Mal'cev. Podría esbozarlo si fuera necesario, pero ahora mismo estoy en proceso de ponerlo en LaTeX, así que probablemente vuelva y publique un enlace.

Steve

EDIT - un esbozo del argumento: El teorema de Mal'cev dice que un grupo lineal finitamente generado es residualmente finito. Por lo tanto $X\subset GL(n,F)$ sea un subconjunto finito del grupo lineal general sobre algún campo $F$ y $G=\langle X \rangle$ . Primero, haga $X$ simétrica, de modo que si $x\in X$ entonces también $x^{-1}\in X$ . Cada $x\in X$ es un $n\times n$ por lo que podemos ensamblar todas las entradas de todos los elementos de $X$ obteniendo un subconjunto finito de $F$ . Sea $R$ denota el subring de $F$ generado por este subconjunto (junto con $1$ ). Entonces $R$ es un anillo de Jacobson, y como es un subring de $F$ , es Jacobson radical es $0$ . Ahora $G$ es un subgrupo de $GL(n,R)$ dejar $g\in G$ sea un elemento no identitario, de modo que $g-I_n\neq 0$ donde $I_n$ es la matriz de identidad. Así pues, $g-I_n$ tiene un elemento distinto de cero, y por tanto existe algún ideal maximal $m\subset R$ que no contenga este elemento distinto de cero. El homomorfismo de anillo matricial $M_n(R)\rightarrow M_n(R/m)$ (reduciendo todo mod $m$ ) induce un homomorfismo de grupo $G\rightarrow GL(n,R/m)$ donde $g$ no está en el núcleo. Pero $R/m$ es finito (por la Nullstellensatz), por lo que $GL(n,R/m)$ es un grupo finito.