Por cada $A,B,C \in H(X)$ d (A, B) $ \le $ d (A, C) + d (C,B) desigualdad triangular ¿cómo demostrarlo? Definir una métrica sobre H(X), demostrar que los axiomas métricos.

Question

(X, d) un espacio métrico H (X) = { $A \subseteq X$  : $ A \neq \emptyset $ un conjunto compacto}

para $x \in X $ ve $ A \in H(X) $

d (x, A) = min {d (x, y) : $ y \in A $ }

para $ A,B \in H(X) $

d (x, A) = máx {d (x, B) : $x \in A $ }

\= max { min {d (x, y) : $ y \in B $ } : $x \in A $ }

Answer 1

Deberías editar tu pregunta porque obviamente querías decir $d(A,B)$ en la segunda definición.

Toma $a,b,c$ en $A,B,C$ respectivamente. Utilizando la desigualdad del triángulo para la distancia en $X$ encontramos

$$ d(a,b) \leq d(a,c) + d(c,b) $$

y $d(a,b) \geq d(a,B)$ así que

$$ d(a,B) \leq d(a,c) + d(c,b). $$

Ahora

$$ d(a,B) - d(a,c) \leq d(c,b). $$

con el lado izquierdo independiente de $b$ por lo que tomando el mínimo para $b$ en $B$ obtenemos

$$ d(a,B) - d(a,c) \leq d(c,B) $$ $$ d(a,B) \leq d(a,c) + d(c,B) \leq d(a,c) + d(C,B) $$

Ahora de nuevo el lado izquierdo es independiente de $c$ así que tomando el mínimo en $c$ en $C$ obtenemos

$$ d(a,B) \leq d(a,C) + d(C,B) $$ $$ d(a,B) \leq d(a,C) + d(C,B) \leq d(A,C) + d(C,B) $$

Por último, el lado derecho es independiente de $a$ tomamos el máximo en $a$ en $A$ y obtener

$$ d(A,B) \leq d(A,C) + d(C,B). $$

Nótese que podemos hablar de máximo y mínimo porque todos los conjuntos $A$ , $B$ y $C$ son compactos por lo que la distancia de uno de estos conjuntos a cualquier punto siempre es alcanzada por un punto del conjunto en cuestión.