Tamices y topología

Question

Estoy leyendo el libro de William Arveson 'an invitation to C*-algebras' y me he encontrado con el concepto de tamices: parece que juegan un papel importante en las estructuras de Borel. Sin embargo, estoy teniendo dificultades para entender lo que William está tratando de decir aquí en la definición básica, y no puedo encontrar este concepto de cualquier otro libro en mi estantería. He probado con Munkres, Engelking y Willard.

Así que aquí está básicamente la definición palabra por palabra:

Sea $X$ sea un espacio topológico. Para cada $k\geq 1$ y cada $k$ -pareja de números enteros positivos $n_{1},...,n_{k}$ , dejemos que $A_{n_{1}n_{2}\cdot\cdot\cdot n_{k}}$ sea un subconjunto de $X$ . La familia $\{A_{n_{1}n_{2}\cdot\cdot\cdot n_{k}}\}$ se denomina tamiz para $X$ si se cumplen las siguientes propiedades: \begin{align*} &(i)\,\,\bigcup_{n_{1}=1}^{\infty}A_{n_{1}}=X\\ &(ii)\,\,\bigcup_{l=1}^{\infty}A_{n_{1}n_{2}\cdot\cdot\cdot n_{k}\,l}=A_{n_{1}n_{2}\cdot\cdot\cdot n_{k}}, \,\,\mathrm{for}\,\,\mathrm{every}\,\,k\geq 1\,\,\mathrm{and}\,\,\mathrm{for}\,\,\mathrm{every}\,\,n_{1},...,n_{k}\geq 1 . \end{align*}

(Y el tamiz se llama tamiz abierto si es una colección de conjuntos abiertos).

Me cuesta entender esta definición e interpretar lo que pretende con ella: ¿qué subconjuntos elige realmente en el tamiz? ¿Está utilizando el mismo conjunto de índices $\{n_{1},n_{2},...\}$ que es básicamente $\mathbb{N}$ ¿con un orden diferente? ¿Se indexan los conjuntos mediante un "índice-producto" de cada $k$ -¿tupla de índices?

Gracias de antemano por todas las aportaciones.

Answer 1

Creo que con el capítulo 3 de Arveson ya has encontrado la máxima exposición agradable y eficiente de la teoría básica de los espacios de Borel estándar. Mucho más profundos son los de Kechris Teoría descriptiva clásica de conjuntos y el libro de libre acceso de Moschovakis sobre Teoría descriptiva de conjuntos .

La idea fundamental es la siguiente: todo va a estar codificado por el " Espacio de Baire " $\mathcal{N} = \mathbb{N}^\mathbb{N}$ de secuencias enteras, dotado de la topología del producto. Se trata de la "madre de todas las Espacios polacos "y tiene un tamiz natural de conjuntos cerrados, a saber $A_{n_1 \cdots n_k} \subset \mathcal{N}$ es el conjunto de secuencias enteras con segmento inicial $n_1,\ldots,n_k$ . Un tamiz en un espacio general es entonces una axiomatización de dos de las propiedades fundamentales de los conjuntos $A_{n_1\cdots n_k}$ en $\mathcal{N}$ a saber, las dos propiedades que menciona en su pregunta.

Como dije en un comentario (con una errata), el conjunto de índices de un tamiz es $\bigcup_{k=0}^\infty \mathbb{N}^k$ que se puede considerar como un árbol con la secuencia vacía como nodo raíz y cada nodo $(n_1,\ldots,n_k)$ tiene un número contable de hijos $(n_1,\ldots,n_k,l)$ , $l \in \mathbb{N}$ . Las propiedades de un tamiz dicen que los conjuntos de nivel $1$ la familia $\{A_{l}\}_{l\in\mathbb{N}}$ cubre $X$ . Entonces cada uno de los conjuntos $A_{n_1}$ se divide en un número contable de subconjuntos $\{A_{n_1 l}\}_{l \in\mathbb{N}}$ cuya unión es $A_{n_1} = \bigcup_{l=1}^\infty A_{n_1 l}$ y así sucesivamente: cada conjunto $A_{n_1\cdots n_k}$ se divide en un número contable de subconjuntos $A_{n_1\cdots n_k l},$ $l \in \mathbb{N}$ .

Si se parte de un espacio métrico completo separable $X$ y su tamiz se compone de conjuntos $A_{n_1\cdots n_k}$ que son bolas cerradas con radios $\leq 1/k$ entonces toda secuencia infinita de números enteros $(n_1,n_2,\ldots)$ especificará el punto único $x \in \bigcap_{k=1}^\infty A_{n_1\cdots n_k}$ y esto nos da una suryección continua $\mathcal{N} \to X$ . Como se verá más adelante, estas proyecciones serán el núcleo de todo lo que sigue.