Pistas sobre una "conjetura" acerca de los triples pitagóricos en un campo finito.

Question

Mi profesor hizo la siguiente "conjetura" en nuestro curso de teoría elemental de números:

$$\{(x, y, z) \in \mathbb{F}_p^3 : x^2 + y^2 = z^2\} = \{(x, y, z) \in \mathbb{F}_p^3 : x = 2st, y = s^2 - t^2, z = s^2 + t^2, s, t \in \mathbb{F}_p\}.$$

Lo pongo entre comillas porque él personalmente no sabía si era cierto o falso, no es que sea ningún tipo de conjetura en la comunidad matemática. Ambos hemos estado trabajando en ello y no hemos avanzado mucho. Yo creo que es cierta porque he probado numerosos primos grandes aleatorios en SAGE, y era cierta en todos los casos. Así que intenté demostrarlo.

Como verás a continuación, lo desgloso en cuatro casos, ninguno de los cuales parece especialmente fructífero.

¿Alguna pista?

Answer 1

A menos que $p=2$ debería deducirse de la parametrización racional del "círculo" $x^2+y^2=1$ trabajando sobre $\Bbb Q$ . Si nos fijamos en la prueba de que el círculo puede ser parametrizado por $$x=\frac{2u}{1+u^2}\,, \qquad y = \frac{1-u^2}{1+u^2}\,,$$ y sustituir $u=t/s$ , $s,t\in\Bbb Z$ obtendrás números enteros $x,y,z$ como en su fórmula que satisface $x^2+y^2=z^2$ . Esta álgebra debería funcionar bien en cualquier campo, siempre que la característica no sea $2$ ... Creo. :)