Hallazgo de un subespacio completo máximo de funciones integrables de Riemann sobre $[0,1]$

Question

Sé que el espacio de funciones integrables de Riemann sobre $[0,1]$ no es completa bajo la norma $|f|= \int f$ . Así que me preguntaba cuál sería un subespacio completo máximo de funciones integrables de Riemann.

Mi intento: En primer lugar me di cuenta de que el subespacio de funciones constantes es completo. Así que sabemos que el conjunto de todos los subespacios completos no está vacío. Ahora me gustaría demostrar que cualquier cadena de subespacios completos tiene un elemento maximal (estoy teniendo problemas para demostrar esto también no estoy seguro de si esto es cierto).

Si lo conseguimos, entonces por el lema de Zorn existe definitivamente un subespacio maximal. Entonces habremos demostrado su existencia.

Edición: Sé que las funciones integrables de Lebesgue son en cierto modo una terminación de las funciones integrables de Riemann. Así que probablemente estaba pensando que podríamos tomar algún subespacio que está contenido en Riemann Integrable funciones entonces obtendríamos algunos otros espacios.

Cualquier sugerencia o comentario será bienvenido. Gracias.

Answer 1

No existe ningún subespacio completo máximo en el espacio de las funciones de Riemann integrables.

De hecho, dado cualquier espacio normado no completo $X$ no existe ningún subespacio completo máximo en $X$ .

Para ver esto, asumamos hacia una contradicción que tal subespacio existe; llamémoslo $E$ . Entonces $E\neq X$ desde $X$ no está completa. Tome cualquier $u\in X\setminus E$ y considere $F:= E\oplus [u]$ donde $[u]$ es el $1$ -que abarca el subespacio $u$ . Demostremos que $F$ es completa, lo que contradirá la maximalidad de $E$ .

Considere el mapa de proyección $p:F\to [u]$ asociada a la descomposición $F=E\oplus [u]$ . La gama de $p$ es $1$ -y el núcleo de $p$ es $E$ que es un cerrado subespacio de $F$ desde $E$ se supone completa. De ello se deduce que $p$ es continua (utilizando el conocido hecho de que una función lineal es continua si y sólo si su núcleo es cerrado). Por tanto, $Id-p$ también es continua. Por lo tanto, tenemos estimaciones $\Vert p(x)\Vert\leq C\Vert x\Vert$ y $\Vert x-p(x)\Vert\leq C\Vert x\Vert$ para $x\in F$ . Puesto que ambos $E$ y el $1$ -espacio dimensional $[u]$ son completas, ahora se deduce fácilmente que $F$ está completo: si $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $F$ entonces $(p(x_n))$ y $(x_n-p(x_n))$ son Cauchy en $[u]$ y $E$ respectivamente, etc.