por qué esta secuencia es $a_n=2n-1?$

Question

Deje algo positivo secuencia de números enteros$\{a_n\}$, si por cualquier postive enteros$m$ tenemos$$\sum_{i=1}^{a_m}a_{i}=(2m-1)^2$ $ espectáculo que$$a_n=2n-1$ $

Que parezca puede utilizar la inducción matemática? Ahora sólo después de$$\sum_{i=1}^{a_m} a_i-\sum_{i=1}^{a_{m-1}}a_i=a_{a_{m-1}+1}+a_{a_{m-1}+2}+\cdots+a_{a_m}$ $ Gracias de antemano!

Answer 1

Primero elige $m=1$ así : $$a_1+\ldots+a_{a_1}=1$$ but the $a_i$'s are positive integers so it must be that $a_1=1$ .

La secuencia en la que obviamente uno-a-uno, porque si por alguna $i,j$ tenemos $a_i=a_j$, luego las sumas en la LHS son el mismo, por lo $(2i-1)^2=(2j-1)^2$, lo que conduce a $i=j$ .

La secuencia también es estrictamente creciente, porque si $i>j$ a la suma de los $i$-LHS es más grande que la suma de los $j$-LHS lo $a_i>a_j$ .Como corolario obtenemos :

$$a_n \geq n$$ for every $$ n .

Si $a_2=2$, a continuación, elija $m=2$, lo que conduce a $a_1+a_2=9$ lo cual es falso .

También si $a_2 \geq 4$, a continuación, poner $m=2$ obtenemos :

$9 \geq a_1+a_2+a_3+a_4 \geq1+2+3+4=10$ ,false, para $a_2=3$ .

Supongamos ahora que hemos establecido $a_i=2i-1$ por cada $i$$1$$n$ .Denotar $a_{n+1}=x$ .

Restar las ecuaciones para $m=n$ $m=n+1$ para obtener : $$a_{2n}+\ldots+a_x=(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$$

con $x \geq 2n$ .

Suponga que $x\geq 2n+2$ .El uso de la estrictamente creciente condición obtenemos :

$a_{2n} \geq a_n+n=3n-1$ , $a_{2n+1} \geq 3n$ , $a_{2n+2} \geq 3n+1$ para volver a conectar : $$8n \geq a_{2n}+a_{2n+1}+a_{2n+2} \geq 9n$$ claramente falso .

Así que debe ser que $x \leq 2n+1$ .

Supongamos ahora que $x=2n$$a_{2n}=8n$ .

Ahora uso $m=2n$ y restar con $m=n$ : $$(a_1+\ldots+a_{8n})-(a_1+\ldots+a_{2n-1})=(4n-1)^2-(2n-1)^2=4n(3n-1)$$

$$a_{2n}+\ldots+a_{8n}=4n(3n-1)$$

Utilice de nuevo el estrictamente creciente de la propiedad para obtener : $$a_{2n+d} \geq a_{2n}+d=8n+d$$ for every $d$ para volver a conectar, se obtiene :

$$4n(3n-1) \geq 8n+(8n+1)+\ldots+14n=11n(6n+1)$ $ , que es claramente falso .

De ello se desprende que $a_{n+1}=x=2n+1$ y desde la perspectiva de la hipótesis de que $$a_n=2n-1$$ for every $$ n .

Answer 2

Tenemos $\{a_n\}$ $a_n\gt0$ $$\sum_{i=1}^{a_m}a_{i}=(2m-1)^2$$ Por lo tanto $$\sum_{i=1}^{a_m}a_{i}=a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_{a_m}=(2m-1)^2$$ $$\sum_{i=1}^{a_{m+1}}a_{i}=a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_{a_{m+1}}=(2m+1)^2$$ Supongamos $a_m=r, a_{m+1}=s$$r \ge s; m\ge1$, de modo que $a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_r=(2m-1)^2\ge a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_s=(2m+1)^2\Rightarrow -8m\ge0$ Esto no puede ser verdad porque lo $m\gt0$. Por lo tanto la secuencia de $\{a_n\}$ es estrictamente creciente. Además de$$\sum_{i=1}^{a_{m+1}}a_{i}-\sum_{i=1}^{a_{m-1}}a_{i}=8m$$ $$\boxed {a_1=k_1=?}$$

$$\sum_{i=1}^{a_1}a_{i}=a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_{k_1}=(2\cdot1-1)^2=1\Rightarrow k_1=1\Rightarrow a_1=1$$ because $a_n\gt 0$. $$\sum_{i=1}^{a_2}a_{i}=a_1+a_2+a_3+\cdot\cdot\cdot+a_{a_2}=(2\cdot2-1)^2=9$$ where $1+2+3+4+5+\cdot a\cdot a\cdot +a_{a_2}\le a_1+a_2+a_3+\cdot a\cdot a\cdot+a_{a_2}$. Por lo tanto, $2\le {a_2}\le3$ porque $1+2+3\lt9\lt1+2+3+4$. Con el fin de tener $\boxed {a_n=2n-1}$ $a_2=3$ está de acuerdo en que el caso de $a_1+a_2+a_3=9$ por lo tanto $(a_1,a_2,a_3)=(1,3,5)$ Ahora $$\sum_{i=1}^{a_{3}}a_{i}=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=(2\cdot3-1)^2=25$$ i.e.$$a_4+a_5=25-9=16$$ where $a_4\ge6$ so $(a_4,a_5)=(6,10),(7,9)$ and only $(7,9)$ agrees. Similarly $$\sum_{i=1}^{a_{4}}a_{i}=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=49$$ i.e.$$a_6+a_7=49-25=24$$ where $a_6\ge10\Rightarrow(a_6,a_7)=(10,14),(11,13)$ y $(a_6,a_7)=(11,13)$.

NOTACIÓN: Para una fácil, $\boxed {{\sum_{i=1}^{a_{n}}a_{i}=S(a_{n})}}$

Yo uso estos primeros siete valores calculados de a $a_n$ a deducir una expresión de S (a_n) como una función de n. $$S(a_1)=a_1=1$$ $$S(a_2)=S(a_1)+a_2+a_3=9\Rightarrow a_2+a_3=8\cdot1$$
$$S(a_3)= S(a_2) +a_4+a_5=25\Rightarrow a_4+a_5=8\cdot2$$ $$S(a_4)=S(a_3)+a_6+a_7=49\Rightarrow a_6+a_7=8\cdot3$$ $$S(a_5)= S(a_4)+a_8+a_9=81\Rightarrow a_8+a_9=8\cdot4$$ $$S(a_6)=S(a_5)+a_{10}+a_{11}=121 \Rightarrow a_{10}+a_{11}=8\cdot5$$ $$S(a_7)=S(a_6)+a_{12}+a_{13}=169\Rightarrow a_{12}+a_{13}=8\cdot6$$ Estos siete igualdades sucesivamente generado muestran a primera vista que $a_1=1,a_2=3,…..,a_7=13$ debido a que, según la declaración, el último índice de la $\sum_{i=1}^{a_{n}}a_{i}$ debe $a_1,a_2,a_3,….a_7$ respectivamente. Cada valor de una $a_i$ determina el valor de $a_{i+1}=a_i+2$, lo que, a continuación, compruebe que el $\boxed {a_n=2n-1}$. Por otro lado, tenemos fácil de inducción en $S(a_n)-S(a_{n-1})=8(n-1)$, $$S(a_n)=1+8[1+2+3+\cdot\cdot\cdot+(n-1)]$$ es decir, $$S(a_n)=1+4n(n-1)=(2n-1)^2\iff \sum_{i=1}^{a_m}a_{i}=(2m-1)^2 $$ (BIS prueba).-Opcionalmente, el uso de la inducción hipótesis de $\sum_{i=1}^{a_m}a_{i}=(2m-1)^2$, habiendo $\sum_{i=1}^{a_1}a_{i}=(2\cdot1-1)^2=1$, de la siguiente manera $S(a_{n+1})-S(a_n)=8n\Rightarrow S(a_{n+1})=S(a_n)+8n=(2n-1)^2+8n=(2n+1)^2$, lo que $a_{n+1}=2n+1\iff a_{n+1}=2(n+1)-1$.

NOTA.- Por último, era muy difícil interpretar la declaración en el principio; yo también pensaba, así como distinguidos seguidores de Intercambio de la Pila debe haber algún error tipográfico. Lo que me parece notable es la equivalencia para los naturales a los enteros $\sum_{i=1}^{a_{n}}a_{i}=(2n-1)^2\iff a_n=2n-1$ que todo el mundo sabe que sólo una implicación.