Imaginemos que tenemos un rey en un tablero de ajedrez, moviéndose al azar por el tablero. Aunque aparentemente es aperiódico, ¿no sería la cadena de Markov correspondiente a los movimientos del rey periódica ya que el rey solo podría regresar a un cuadrado i en el tablero en los movimientos 2,4,6 ... etc. (máximo común divisor de 2) después de estar inicialmente en el cuadrado?
Por definición, las cadenas aperiódicas tienen tiempos de retorno a i con un m.c.d. de 1.
Tus matemáticas son correctas pero tu comprensión de las reglas del ajedrez no lo es. Un rey en cualquier casilla que no esté en el borde del tablero puede moverse a cualquiera de ocho casillas: las cuatro que comparten un borde común con la que está y las cuatro que comparten solo un vértice común.
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Los reyes se pueden mover en diagonal, ¿verdad? Entonces, ¿se puede obtener un ciclo de longitud 3 haciendo izquierda, arriba, diagonalmente hacia abajo a la derecha?
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Un rey puede moverse hacia arriba, hacia la derecha y luego hacia abajo-izquierda, regresando al mismo lugar en 3 movimientos.
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Un rey puede regresar a su casilla original en cualquier número de movimientos mayor que $1$.