¿Cuál es su isomorfismo favorito?

Question

El otro día intentaba explicar por qué los isomorfismos son importantes. Saqué el Historia de las matemáticas de la estantería y se sorprendió al ver que isomorfismo ni siquiera figura en su índice. El sitio Artículo de Wikipedia sobre isomorfismos sólo da dos ejemplos concretos.

Hay muchos isomorfismos clásicos sorprendentes y significativos. Me abstendré de dar ejemplos. ¿Cuáles son sus favoritos?

Como de costumbre, limítese a un isomorfismo por respuesta .

(Relacionado: sus conexiones sorprendentes favoritas en matemáticas . Pero esta pregunta busca ejemplos más concretos, sobre todo que ilustren la fuerza de la idea).

Answer 1

Nombro el Teorema del Resto Chino, en forma de isomorfismo de un anillo de residuos con un anillo producto cartesiano. No se trata de matemáticas "profundas", pero el simple hecho de desentrañarlo (con la construcción de los idempotentes subyacentes) debería convencer a los estudiantes de que la estructura algebraica tiene "contenido". Recuerdo una conversación sobre el análogo para polinomios en una variable sobre un campo finito, en la que mi parte realmente estaba afirmando que si entiendes la TRC original de la manera correcta, esto no es nada del otro mundo.

Answer 2

La función modular elíptica
j(τ) = q -1 + 744 +196884q + ... (q=e 2πiτ )

Se trata de un isomorfismo de curvas elípticas (como C/(1,τ)) al plano complejo.

Answer 3

Soy un fan del isomorfismo entre $PSL_2 (F_7)$ y $GL_3 (F_2)$ (dos bonitas descripciones del grupo simple de orden 168). Hace años, Richard Guy me preguntó si conocía un mapa explícito, y no lo conocí. Pero hace poco se dio uno en el Math Monthly:

MR2572107 Brown, Ezra; Loehr, Nicholas ¿Por qué ${\rm PSL}(2,7)\cong{\rm GL}(3,2)$ ? Amer. Math. Monthly 116 (2009), no. 8, 727--732.

El documento también está disponible en el sitio web de Brown:

http://www.math.vt.edu/people/brown/doc.html

Answer 4

El conjunto de 7-tuplas de árboles binarios es isomorfo al conjunto de árboles binarios. Para que definición de "isomorfo", éste es un resultado no trivial sorprendente.

Answer 5

Uno de mis favoritos se encuentra en la página de Peter Cameron blog . Tomemos un modelo contable $(M,E)$ de suficientes (axiomas de) la teoría de conjuntos. Simetrizar la relación $E$ para obtener un gráfico. Este grafo es el grafo aleatorio (grafo contable universal homogéneo de Rado).