¿Cuál es su isomorfismo favorito?

Question

El otro día intentaba explicar por qué los isomorfismos son importantes. Saqué el Historia de las matemáticas de la estantería y se sorprendió al ver que isomorfismo ni siquiera figura en su índice. El sitio Artículo de Wikipedia sobre isomorfismos sólo da dos ejemplos concretos.

Hay muchos isomorfismos clásicos sorprendentes y significativos. Me abstendré de dar ejemplos. ¿Cuáles son sus favoritos?

Como de costumbre, limítese a un isomorfismo por respuesta .

(Relacionado: sus conexiones sorprendentes favoritas en matemáticas . Pero esta pregunta busca ejemplos más concretos, sobre todo que ilustren la fuerza de la idea).

Answer 1

He aquí un ejemplo que Mel Hochster utilizó para explicar la noción de isomorfismo a un grupo de estudiantes de secundaria con talento. Yo era uno de los ayudantes del curso y no uno de los estudiantes, pero estoy seguro de que la idea fue al menos tan valiosa para mí como para ellos.

Considere el siguiente juego. Escribiré los números del 1 al 9 en una hoja de papel, y tú y yo nos turnaremos para seleccionar números de la lista (tachando cada número una vez seleccionado). El ganador será la primera persona que haya elegido exactamente tres números que sumen 15. Por ejemplo, si yo selecciono 9, 6, 2 y tú 3, 8, 1, 4, ganarás porque 3 + 8 + 4 = 15.

Lo interesante es que este juego es isomorfo al tres en raya. No sé exactamente qué quiero decir con eso, pero puedo explicar por qué es cierto. Consideremos simplemente un cuadrado mágico de 3 x 3:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Las filas, columnas y diagonales suman 15, y además se representan todas las formas de escribir 15 como suma de tres números del 1 al 9. Cuando elijas un número, dibuja una X sobre él; cuando yo elija un número, rodéalo con un círculo. Tres en raya.

Answer 2

El inglés y el francés son isomórficos.

Más fuerte. Ambos son triviales.

Ver esto papel de Mestre, Schoof, Washington y Zagier para una prueba breve.

Answer 3

El conjunto de los reales positivos bajo multiplicación es isomorfo al conjunto de los reales bajo suma, que es el isomorfismo subyacente a la operación de una regla de cálculo. Es el único isomorfismo que se me ocurre lo bastante importante como para que sus valores explícitos (aproximados) se publicaran en libros de 1000 páginas. Los reales positivos bajo multiplicación es también un ejemplo pedagógico estándar de un espacio vectorial real abstracto unidimensional interesante, donde hay algún contenido para verificar los axiomas. (El otro ejemplo estándar son los reales con suma dada por $x+y-1$ y multiplicación por escalar $a$ dada por $ax + 1 - a$ .)

Answer 4

El ejemplo más sorprendente de un isomorfismo que recuerdo haber visto cuando era estudiante fue cuando John Conway nos visitó y dio su famosa charla sobre los enredos racionales. Ser capaz de desatar un par de cuerdas de saltar aparentemente enredadas sin remedio manipulando números racionales fue una demostración asombrosamente concreta de lo que significaba que las estructuras fueran isomorfas.

Para los que no sepan de qué hablo, creo que hay un vídeo por ahí.

Answer 5

El binomio Cantor función es la función $p(a,b)= (a+b)(a+b+1)/2 + b$ un polinomio biyección entre los pares de números naturales y números individuales. Por lo tanto, es una biyección o isomorfismo de los conjuntos $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}$ . Utilizando dicha función, se puede deducir fácilmente que el conjunto de los números racionales es contable, y más en general, que una unión contable de conjuntos contables es contable.