Supongamos que $\hat{x}\in\mathbb{R}^d$ es un vector normalizado y $\alpha\in(0, 1)$ un escalar. ¿Hay alguna forma de calcular rápidamente el determinante de la siguiente matriz? $$ I_d - \alpha\hat{x}\hat{x}^\top $$ A mí me parece que esta estructura tiene mucha estructura, así que esperaría algún truco para hacer el trabajo.
Respuesta
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Como se ha dicho en los comentarios, $\hat{x}\hat{x}^\top$ es un rango $1$ matriz, por lo que todos menos uno de los valores propios es $0$ . El valor propio restante puede observarse así: $$(\hat{x}\hat{x}^\top)\hat{x} = (\hat{x}^\top\hat{x})\hat{x} = \|\hat{x}\|^2\hat{x} = \hat{x},$$ desde $\hat{x}$ se normaliza. Así, los valores propios son $0$ con multiplicidad $n - 1$ (donde $\hat{x} \in \Bbb{R}^n$ ) y $1$ con multiplicidad $1$ .
Tenga en cuenta que $\alpha \hat{x}\hat{x}^\top$ y $I - \alpha \hat{x}\hat{x}^\top$ tienen los mismos vectores propios, con valores propios respectivos $\alpha, 0, 0, \ldots, 0$ y $1 - \alpha, 1, 1, \ldots, 1$ . El determinante de este último es, por tanto $$(1 - \alpha) \cdot 1^{n - 1} = 1 - \alpha.$$
EDIT: Una prueba aún más rápida implica esta identidad . Sea $A = i\sqrt{\alpha}\hat{x}$ y $B = i\sqrt{\alpha}\hat{x}^\top$ . Entonces $$\det(I_n - \alpha\hat{x}\hat{x}^\top) = \det(I_n + AB) = \det(I_1 + BA) = \det(I_1 - \alpha\hat{x}^\top \hat{x}).$$ Este último es el determinante de la $1 \times 1$ matriz $(1 - \alpha)$ que es $1 - \alpha$ lo que nos da de nuevo el resultado.
