Encontrar una función $f$ que es continua y acotada en $[0, \infty)$ pero que no es uniformemente continua en $[0, \infty)$

Question

De Spivak Cálculo 4 ª edición.

Pregunta: Encontrar una función $f$ que es continua y acotada en $[0, \infty)$ pero que no es uniformemente continua en $[0, \infty)$ .

Entiendo que las funciones que no son uniformemente continuas tienen inevitablemente una pendiente cada vez más pronunciada.

Sin embargo, dado que $\sin(\frac1x)$ no es continua en $0$ Estoy teniendo problemas para encontrar una función que satisfaga esto. Todas las variaciones de $\sin(x)$ que se me ocurren no están acotados.

Answer 1

¿Qué pasa con $\sin(x^2)$ ? Está acotado y tiene una oscilación rápida similar a la de $x$ se acerca a $\infty$ .

Answer 2

Considere la función $$\sin(\big\lfloor\frac x\pi\big\rfloor\cdot x)$$ Es bastante fácil demostrar que esta función es continua, y que la oscilación se hace más rápida a medida que la función se acerca al infinito.