$\int_1^\infty \frac{\ln(t)}{t}dt$ ¿es divergente?

Question

Cómo demostrar que $\int_1^\infty \frac{\ln(t)}{t}dt$ ¿es divergente?

Sé cómo demostrarlo $\int_1^\infty \frac{1}{t}dt$ es divergente

Así que tal vez $$\int_1^\infty \frac{\ln(t)}{t}dt = \int_1^e \frac{\ln(t)}{t}dt + \int_e^\infty \frac{\ln(t)}{t}dt \geq \int_1^e \frac{\ln(t)}{t}dt + \int_e^\infty \frac{1}{t}dt = \infty$$

¿entonces diverge por prueba de comparación? ¿es así? GRACIAS

Answer 1

Tu solución es buena, pero quizás esto sea más sencillo:

Si $u = \ln t$ el $du = dt/t$ así que $$\int_1^\infty \frac{\ln t}{t} dt = \int_0^\infty udu = \left. \frac{u^2}{2} \right|_0^\infty$$

Answer 2

Su método de comparación directa está bien y podemos simplificarlo aún más de la siguiente manera

$$\int_1^\infty \frac{\ln(t)}{t}dt \ge \int_e^\infty \frac{\ln(t)}{t}dt \geq \int_e^\infty \frac{1}{t}dt = \infty$$