Demostrar que $M$ es $\sigma$ -álgebra

Question

Sea $X$ sea un conjunto y $S$ ser un $\sigma$ -en $X$ con $E\subseteq X$ .

Algún subconjunto, $M := \{ (A \cap E) \cup (B\setminus E) | A,B \in S \}$ . Demostrar que $M$ es $\sigma$ -en $X$ y además demostrar que $M$ es el más pequeño $\sigma$ -en $X$ que contiene todos los miembros de la familia $S\cup\{E\}$ .

Por favor, ayuda con este problema o al menos ofrecer algunas pistas sobre cómo mostrar que es el más pequeño.

Answer 1

$M$ es una sigma-álgebra.

Prueba. Tenga en cuenta que si $A \in S$ entonces $A \in M$ (dejando $B=A$ ), por lo que $S \subset M$ .

Ahora demostramos que $M$ es cerrado bajo uniones contables. Sea $[(A_n \cap E) \cup (B_n \cap E^c)]_n \subset M$ . Sea $A = \cup_n A_n$ y $B = \cup_n B_n$ . Entonces, $A, B \in S$ y $$\begin{align} \bigcup_n [(A_n \cap E) \cup (B_n \cap E^c)] &= \bigcup_n (A_n \cap E) \cup \bigcup_n (B_n \cap E^c)\\ &= [A \cap E] \cup [B \cap E^c] \in M. \end{align}$$

Por último, demostramos que $M$ es cerrado por complementación. Sea $(A \cap E) \cup (B \cap E^c) \in M$ . Entonces, $(A^c \cap E) \cup (B^c \cap E^c) \in M$ porque $S$ es una sigma-álgebra, $A^c \cap B^c \in M$ porque $S \subset M$ y $$\begin{align} [(A \cap E) \cup (B \cap E^c)]^c &= [((A \cap E) \cup B) \cap ((A \cap E) \cup E^c)]^c\\ &=[(A \cup B) \cap (B \cup E) \cap (A \cup E^c)]^c\\ &= (A \cup B)^c \cup (B \cup E)^c \cup (A \cup E^c)^c\\ &= (A^c \cap B^c) \cup (B^c \cap E^c) \cup (A^c \cap E) \in M, \end{align}$$

donde, en el último paso, hemos utilizado el hecho de que $M$ está cerrado bajo uniones. Esto completa la prueba.

M es la sigma-álgebra más pequeña que contiene $S \cup \{E\}$ .

Prueba. Sea $N$ sea la sigma-álgebra más pequeña que contenga $S \cup \{E\}$ . A partir del resultado anterior, sabemos que $M$ es una sigma-álgebra, y está claro que $M$ contiene $S \cup \{E\}$ . Por lo tanto, $N \subset M$ . Basta, pues, con demostrar que $M \subset N$ . Y para demostrarlo basta con demostrar que $N$ contiene todos los conjuntos de la forma $$(A \cap E) \cup (B \cap E^c), \ \ A,B \in S.$$ Pero este es claramente el caso porque, por supuesto, $N$ es una sigma-álgebra que contiene $S \cup \{E\}$ .