Supongamos que $M$ es una estructura infinita en la que los únicos subconjuntos definibles sin parámetros son finitos o cofinitos. Debe $M$ sea una estructura mínima, es decir, una estructura en la que todos los subconjuntos definibles con parámetros sean finitos o cofinitos? ¿Y si reforzamos la condición para decir que todo conjunto definible sin parámetros está vacío o es todo el conjunto $M$ ?
Respuesta
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No. Tu condición más fuerte, que todo subconjunto definible sin parámetros de $M$ vacío o todo el conjunto $M$ es equivalente a la afirmación de que existe exactamente una completa $1$ -sobre el conjunto vacío módulo $\text{Th}(M)$ .
Una condición suficiente para ello es que $M$ (o cualquier estructura elementalmente equivalente a $M$ !) tiene un grupo de automorfismo transitivo, es decir, para todo $a,b\in M$ existe $\sigma\in \text{Aut}(M)$ tal que $\sigma(a) = b$ .
Hay muchas estructuras con grupos de automorfismo transitivos que no son mínimos. Por ejemplo, $(\mathbb{Q};<)$ o $(\mathbb{Z};<)$ o el gráfico aleatorio, o $(\mathbb{N};E)$ donde $E$ es cualquier relación de equivalencia no trivial para la que cada clase de equivalencia es infinita (por ejemplo, la relación "equivalente mod. $n$ " con $n\geq 2$ ).
