Mostrar una desigualdad mediante Cauchy-Schwarz

Question

He conseguido resolver la siguiente desigualdad utilizando AM-GM: $$ \frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)} \geq \frac{3}{4} $$ siempre que $a,b,c >0$ y $abc=1$ .

Sin embargo se me insinuó que esto también podría resolverse con la desigualdad de Cauchy-Schwarz pero no he sido capaz de encontrar una solución usándola y estoy realmente sin ideas.

Answer 1

Sea $a=\frac{y}{x}$ y $b=\frac{z}{y},$ donde $x$ , $y$ y $z$ son positivos.

Así, $c=\frac{x}{z}$ y por C-S obtenemos: $$\sum_{cyc}\frac{a}{(a+1)(b+1)}=\sum_{cyc}\frac{\frac{y}{x}}{\left(\frac{y}{x}+1\right)\left(\frac{z}{y}+1\right)}=\sum_{cyc}\frac{y^2}{(x+y)(y+z)}\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sum\limits_{cyc}(x+y)(y+z)}.$$ Id est, es suficiente para demostrarlo: $$\frac{(x+y+z)^2}{\sum\limits_{cyc}(x+y)(y+z)}\geq\frac{3}{4}$$ o $$4(x+y+z)^2\geq3\sum_{cyc}(x+y)(y+z)$$ o $$4\sum_{cyc}(x^2+2xy)\geq3\sum_{cyc}(x^2+3xy)$$ o $$\sum_{cyc}(x^2-xy)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(x-y)^2\geq0.$$