Sea S un subespacio del espacio topológico X. Demuestre que el cierre de S, el conjunto de puntos de contacto, es efectivamente cerrado.

Question

Sea $S$ sea un subespacio del espacio topológico $X$ .

Demuestre que el cierre de $S$ el conjunto de puntos de contacto, es cerrado.

Necesito demostrar que el cierre está cerrado, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Si $x$ no es un punto de contacto, entonces $x$ tiene una vecindad, podemos suponer que abierta, $O$ que falla $A$ del todo. Ahora, por cada $y \in O$ , ese mismo $O$ es una vecindad de $y$ que sigue fallando $A$ y así todos $y \in O$ son también no en el cierre de $A$ (definido como el conjunto de todos los "puntos de contacto", es decir, los puntos cuya vecindad interseca a $A$ ).

Así que a partir de $x \in X \setminus \operatorname{Cl}(A)$ tenemos una $O$ con $x \in O \subset X \setminus \operatorname{Cl}(A)$ demostrando que $x$ está en el interior de $X \setminus \operatorname{Cl}(A)$ por lo que este último conjunto es abierto, y por tanto $\operatorname{Cl}(A)$ está cerrado.

Answer 2

Supongo que se encuentra en la siguiente situación: Un punto de contacto de un conjunto $S$ se define como un punto tal que toda vecindad del mismo cumple $S$ . El conjunto de todos los puntos de contacto de $S$ es el cierre de $S$ y se quiere demostrar que el cierre es cerrado, es decir, el complemento de un conjunto abierto. Sea $x$ no ser un punto de contacto. Entonces hay un barrio que no cumple $S$ y, por lo tanto, está totalmente en el complemento de $S$ . Así que cada punto en el complemento de la clausura tiene una vecindad que se encuentra en el complemento. Por tanto, el complemento es un conjunto abierto y el cierre, cerrado.

Answer 3

Creo que se refiere a subconjunto $S$ de un espacio topológico $X$ su cierre está siempre cerrado. El cierre es cerrado debido a la siguiente definición:

Sea $S \subset X$ . El cierre de $S$ que denotamos por $\overline{S}$ se define como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $S$ .

Ahora bien, como la intersección de un número arbitrario de conjuntos cerrados es cerrada, $\overline{S}$ está cerrado. También es el más pequeño porque si $A$ es otro conjunto cerrado que contiene $S$ entonces $A$ aparece necesariamente en

$$\bigcap \hspace{1mm} \bigg(\text{All closed sets that contain $ S $}\bigg) = \overline{S}$$

para que $\overline{S} \subset A$ .