Una consecuencia del teorema de Cesàro

Question

Esta es la declaración :

"Let $(a_n)_{n\ge 1}$ una secuencia real o compleja y $l \in \bar{\mathbb{R}}$ .

Si $\lim \limits_{n\to +\infty} a_{n+1} - a_{n}=l$ entonces $\lim \limits_{n\to +\infty}\frac{a_n}{n}=l$ ."

Para demostrarlo, tomo la secuencia $u_n = a_{n+1} - a_{n}$ para todos $n\ge1$ .

Por hipótesis, $\lim \limits_{n\to +\infty} u_n = l$ . Entonces aplicando el teorema de Cesàro debo tener $\lim \limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n}u_k=l$

Sustituyendo obtengo : $\lim \limits_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}-a_1}{n}=l$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}}{n}=l$

Entonces no sé cómo hacer aparecer $a_n$ en lugar de $a_{n+1}$ .

Además, ¿la secuencia $a_n$ ¿condición necesaria para aplicar este resultado?

Gracias de antemano.

Answer 1

Pista: $$\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_{n+1}}{n+1}\frac{n+1}{n}.$$

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O quizás más concretamente, $$\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_{n+1}}{n}\frac{n}{n+1}.$$ Hemos demostrado $a_{n+1}/n\to l$ sabemos $n/(n+1)\to1$ Por lo tanto $a_{n+1}/(n+1)\to l$ .

Y ahora esto implica que $a_n/n\to l$ . Dado $\epsilon>0$ existe $N$ así que $|a_{n+1}/(n+1)-l|<\epsilon$ para todos $n>N$ . Por lo tanto $|a_n/n-l|<\epsilon$ para todos $n>N+1$ .