Cierre de familia equicontinua de funciones acotadas.

Question

Sea $B(x,y)$ sea el conjunto de todas las funciones acotadas $f: X \to Y$ ( $X,Y$ espacios métricos). Demostrar que si $\mathcal F \subset B(x,y)$ es una familia equicontinua, entonces $\overline {\mathcal F}$ es equicontinuo.

Esto es lo que he probado:

Toma $x_0 \in X$ , $\epsilon>0$ Quiero demostrar que existe $\delta>0$ : $d_X(x_0,x)<\delta \implies \forall f \in \overline {\mathcal F} d_Y(f(x_0),f(x))<\epsilon$

Así que $x_0 \in X$ , $\epsilon>0$ y tomar un $f \in \overline {\mathcal F}$ . Hay $\{f_n\}_{n \in \mathbb N} \subset B(X,Y)$ : $f_n \to f$ .

$d_Y(f(x_0),f(x)) \leq d(f(x_0),f_n(x_0))+d_Y(f_n(x_0),f_n(x))+d_Y(f_n(x),f(x))$ . Sé que hay $N \in \mathbb N$ : $\forall n \geq N$ $d(f(x_0),f_n(x_0))+d_Y(f_n(x_0),f_n(x))+d_Y(f_n(x),f(x))<\dfrac{\epsilon}{3}+d_Y(f_n(x_0),f_n(x))+\dfrac{\epsilon}{3}$ .

Por la hipótesis equicontinua, existe $\delta>0$ : si $d_X(x,x_0)<\delta \implies \forall n \space d_Y(f_n(x),f_n(x_0))<\frac{\epsilon}{3}$ . De ello se deduce que si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d(f(x_0),f(x))<\dfrac{\epsilon}{3}.$

Creo que estoy haciendo algo mal ya que no estoy utilizando que cada $f_n \in B(X,Y)$ pero no sé dónde está mi error.

Answer 1

Aquí, el hecho de que exijamos que las funciones estén acotadas no es problemático (podemos sustituir la métrica sobre $Y$ por el equivalente $\min\{d_Y,1\}$ ). Exigimos la acotación cuando, por ejemplo $Y$ es un espacio normado y definimos la norma uniforme como $\lVert f\rVert_\infty:=\sup_{x\in X}\lVert f(x)\rVert_Y$ .