Problema: Deje $\omega\in\Omega^r(M^n)$ supongamos que $\int_\sum \omega = 0$ por cada orientadas suave colector $\sum \subseteq M^n$ que es diffeomorphic a $S^r$. Mostrar que $d\omega = 0$.
Prueba: Suponga $d\omega \neq 0$. Entonces existe $v_1, \ldots, v_{r+1}\in T_pM$ tal que $d\omega_p(v_1, \ldots, v_{r+1}) \neq 0$.
$D^{r+1}\subseteq \mathbb{R}^{r+1}$ un suave submanifold de $\mathbb{R}^{n}$ con límite de $S^r$. Deje $(h,U)$ ser un gráfico en torno a $p$ tal que $D^{r+1}$ (con algunas radius) se asigna a $N = h^{-1}(D^{r+1})$$p$. A continuación, $N$ es un buen submanifold de $M^n$ con límite igual a $\partial N = h^{-1}(S^r)$ (diffeomorphic a $S^r$).
Por definición de la integral y Stokes teorema:
$\int_{\partial N} \omega = \int_N d\omega = \int_{D^{r+1}}(h^{-1})^* (d\omega)$.
Ahora vamos a $\alpha = (h^{-1})^*(d\omega)$. A continuación, $\alpha = f(x)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_{r+1}$(topform en $\mathbb{R}^{r+1}$). Desde $f(x) \neq 0$, tiene que ser diferente de cero en un pequeño dominio. Suponga que $f(x) > 0$. Entonces $\int_{D^{r+1}}\alpha = \int_{D^{r+1}}f(x)d\mu_{r+1} > 0$.
Contradicción.
-- Siento que mi idea es correcta, pero no estoy totalmente seguro de que esta es una buena prueba. Podría haber sido hecho más fácil? Estoy agradecido por cualquier comentario.