9 votos

teorema difeomorfismos y Stokes

Problema: Deje $\omega\in\Omega^r(M^n)$ supongamos que $\int_\sum \omega = 0$ por cada orientadas suave colector $\sum \subseteq M^n$ que es diffeomorphic a $S^r$. Mostrar que $d\omega = 0$.

Prueba: Suponga $d\omega \neq 0$. Entonces existe $v_1, \ldots, v_{r+1}\in T_pM$ tal que $d\omega_p(v_1, \ldots, v_{r+1}) \neq 0$.

$D^{r+1}\subseteq \mathbb{R}^{r+1}$ un suave submanifold de $\mathbb{R}^{n}$ con límite de $S^r$. Deje $(h,U)$ ser un gráfico en torno a $p$ tal que $D^{r+1}$ (con algunas radius) se asigna a $N = h^{-1}(D^{r+1})$$p$. A continuación, $N$ es un buen submanifold de $M^n$ con límite igual a $\partial N = h^{-1}(S^r)$ (diffeomorphic a $S^r$).

Por definición de la integral y Stokes teorema:

$\int_{\partial N} \omega = \int_N d\omega = \int_{D^{r+1}}(h^{-1})^* (d\omega)$.

Ahora vamos a $\alpha = (h^{-1})^*(d\omega)$. A continuación, $\alpha = f(x)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_{r+1}$(topform en $\mathbb{R}^{r+1}$). Desde $f(x) \neq 0$, tiene que ser diferente de cero en un pequeño dominio. Suponga que $f(x) > 0$. Entonces $\int_{D^{r+1}}\alpha = \int_{D^{r+1}}f(x)d\mu_{r+1} > 0$.

Contradicción.

-- Siento que mi idea es correcta, pero no estoy totalmente seguro de que esta es una buena prueba. Podría haber sido hecho más fácil? Estoy agradecido por cualquier comentario.

3voto

Thomas Vander Stichele Puntos 16872

Como sugiere mixedmath puesto que la prueba era correcta para comenzar con.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X