¿Debe un subespacio vectorial contener el vector nulo?

Question

Si debe hacerlo, ¿por qué? Si no debe, ¿por qué? He podido demostrar que un determinado conjunto de vectores no tiene como miembro al vector cero y, normalmente, me han dicho que a partir de ahí concluya que no es un subespacio vectorial. Me confundí y me pregunté si esto siempre demuestra que el conjunto no es un conjunto vacío, ya que es una de las condiciones que debe satisfacer un subespacio vectorial.

Answer 1

Sea $V$ sea un espacio vectorial y $U\subset V$ sea un subespacio. Dado que $U$ no es vacío, existe un $u\in U$ . Desde $U$ es un subespacio obtenemos $-u\in U$ . Por lo tanto, también $0=u+(-u)\in U$ .

Alternativamente también $0=0_K\cdot u\in U$ donde $0_K$ denota el cero en el campo de tierra $K$ (suponiendo $V$ es un $K$ -vectorial).