Análisis armónico en grupos semisimples - tratamiento moderno

Question

Para mis finales, estoy escarbando en el libro de Varadarajan Introducción al análisis armónico en grupos de Lie semisimples . Me parece una lectura bastante dura y creo que ya está un poco desfasada. Cualquier recomendación de un tratamiento más moderno (y / o) de introducción a los temas tratados en este libro sería muy apreciada.

Me interesa más la teoría de la representación, aunque encuentro intrigante la conexión con el análisis armónico. Una vez aprendida la teoría de la representación en dimensiones finitas, quería pasar a la de dimensiones infinitas. Del análisis armónico sólo conozco la dualidad clásica de Pontryagin, que me pareció suficiente para empezar, pero el enfoque de Varadarajan basado en ejemplos me ha parecido difícil de seguir.

Answer 1

Hablando como no experto, destacaría que el tema en su conjunto es profundo y difícil. Incluso dejando de lado los recientes avances para $p$ -ádicos, la teoría de la representación de los grupos de Lie semisimples se ha estudiado durante generaciones en el espíritu del análisis armónico. Así que hay mucha literatura y un buen número de libros (no todos se siguen imprimiendo). Tras haber escuchado muchas de las conferencias de Harish-Chandra hace años, sé que el tema requiere una enorme dedicación y muchos conocimientos previos, incluidos los casos especiales clásicos. Algunos libros son sin duda más accesibles que otros para el autoestudio, pero mucho depende de lo que uno ya sepa y de lo que crea que quiere aprender.

El acceso a MathSciNet es útil para rastrear libros y otra bibliografía, así como algunas reseñas perspicaces. Sin intentar hacer mi propia evaluación, aquí están los libros más probables que hay que tener en cuenta, además de la reimpresión en rústica corregida del libro de Varadarajan publicado en Cambridge en 1989 (tengo el original, pero no la impresión corregida, así que no sé cuántos cambios se hicieron):

MR2426516 (2009f:22009), Faraut, Jacques (F-PARIS6-IMJ), Análisis sobre grupos de Lie. An introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 110. Cambridge University Press, Cambridge, 2008.

MR1151617 (93f:22009), Howe, Roger (1-YALE); Tan, Eng-Chye (SGP-SING), Nonabelian harmonic analysis. Applications of SL(2,R). Universitext. Springer-Verlag, Nueva York, 1992.

MR0498996 (58 #16978), Wallach, Nolan R., Análisis armónico en espacios homogéneos. Pure and Applied Mathematics, No. 19. Marcel Dekker, Inc. Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1973.

Este antiguo libro de Wallach, así como otro suyo sobre las representaciones de grupos de Lie, están presumiblemente agotados. En cualquier caso, los libros de texto de nivel introductorio que hacen hincapié tanto en las representaciones de grupos de Lie como en el análisis armónico (a menudo en la dirección de los espacios simétricos) son relativamente escasos. Esto probablemente refleja el hecho práctico de que no se suele intentar impartir cursos de posgrado, que inevitablemente son bastante avanzados. Por otro lado, existen algunos textos modernos de posgrado sobre grupos de Lie compactos y análisis armónico relacionado, así como libros sobre grupos de Lie y sus representaciones con menos cobertura del análisis armónico y los espacios simétricos.

Answer 2

Lo primero que hay que tener en cuenta es que el análisis armónico sobre semisimple grupos de Lie es muy diferente del "análisis armónico abstracto" a la Loomis o Hewitt y Ross se ocupan de lo localmente compacto abeliano grupos. El caso semisimple fue desarrollado en gran parte por Harish-Chandra y sus trabajos (reimpresos en sus 4 volúmenes Documentos recopilados ), aunque bastante más antiguos que el libro de Varadarajan, siguen siendo una buena fuente de resultados e inspiración para muchos de nosotros.

Para una introducción al tema, recomiendo encarecidamente el libro de Howe y Tan citado por Jim. Trata desde el punto de vista de la teoría de la representación el caso no trivial más sencillo, el análisis armónico no abeliano relacionado con $SL(2,\mathbb{R}).$ El libro utiliza herramientas elementales y, sin embargo, trata una amplia gama de temas. Pueden encontrarse elementos de la teoría de Harish-Chandra para grupos de Lie reductores generales en el artículo de Howe Un siglo de teoría de Lie .

La teoría de las funciones especiales y el análisis armónico en espacios simétricos clásicos y espacios simétricos reductores basada en el enfoque de la teoría de la representación con diferente sabor se expone en los libros de Vilenkin, Helgasson, y Heckman y Schlichtkrull, que proporcionan buenas descripciones complementarias de esta teoría.

Answer 3

De mi muy limitada vista previa de google deduzco que la pregunta es sobre una introducción a la obra de Harish Chandra descrita por emerton en un post anterior al que hace referencia. Si no te gusta el enfoque de ejemplo (a mí tampoco) echa un vistazo de vez en cuando a la (magistral) exposición de Varadarajan "Harmonic Analysis on Reductive Groups" (Springer LN #576, 1977). Los únicos ejemplos que hay son los necesarios para iniciar argumentos de inducción o para descender a centralizadores. Pero expone el plan muy claramente a lo largo del camino. Para una exposición con un enfoque más moderno de las series discretas, pruebe los libros de Wallach "Real Reductive Groups". Sólo he visto el Vol I (1988) pero ya tiene algunas simplificaciones y parece más atractivo al menos para algunos estudiantes. Para un enfoque verdaderamente moderno, es una cuestión interesante.