Puede $\frac{\sqrt{3}}{\sin20^{\circ}}-\frac{1}{\cos20^{\circ}}$ tienen dos valores?

Question

Me gustaría confirmar una solución. La pregunta va como:

Demuestra que $$\frac{\sqrt{3}}{\sin20^{\circ}}-\frac{1}{\cos20^{\circ}}=4$$

Primero combiné los dos términos para formar algo así: $$\dfrac{\sqrt{3}\cos20^{\circ} - \sin20^{\circ}}{\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}}.$$

Claramente, el numerador es de la forma $a\cos\theta+b\sin\theta$ por lo que puede expresarse como $R\sin(\theta+\alpha)$ donde $R=\sqrt{a^2+b^2}$ y $\alpha=\arctan(\dfrac{a}{b})$ . Siguiendo este método, obtengo algo así: $$\dfrac{2\sin(20^{\circ}-60^{\circ})}{\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}},$$ lo que hace que la expresión sea igual a $-4$ . Pero, tomamos $R$ para ser la raíz cuadrada principal, que era $2$ . Si lo tomamos como la raíz negativa, $-2$ se deduce que la expresión es igual a $4$ . Entonces, ¿puede esta expresión tener dos valores?

Edita: También me gustaría mencionar cómo he calculado el numerador:

Numerador:

$\sqrt{3}\cos20^{\circ} - \sin20^{\circ}$ .

Ahora bien, esto puede representarse como $R\sin(\theta+\alpha)$ .
Cálculo de $R$ : $R=\sqrt{a^2+b^2}\implies R=\sqrt{(3+1)}=2$
Cálculo de $\alpha$ : $\tan\alpha=\dfrac{a}{b}\implies \tan\alpha=\dfrac{\sqrt3}{-1}\implies \alpha=-60^{\circ}$ porque $\tan(-x)=-\tan x$ y en este caso $\tan\alpha=-\sqrt3$ y $-\tan(60^{\circ})=-\sqrt3$ Así que $\alpha=-60^{\circ}$ .

Por lo tanto, concluimos que el numerador: $$2\sin(20+(-60))=2\sin(-40)=-2\sin(40^{\circ})$$

Answer 1

La expresión sólo tendría un valor, y es 4. Primero te diré la razón de esto, y luego tu error al calcular el numerador, que te llevó a la conclusión equivocada.

1) Así que la razón por la que la expresión tendría un valor específico es porque los valores de $\sin20^\circ$ y $\cos20^\circ$ de los que depende la expresión, sólo tienen un valor propio específico bien definido. Sólo con saber esto, podrías haber llegado a la conclusión de que tu cálculo o razonamiento se ha equivocado en alguna parte.

2) El error que te ha llevado a la conclusión equivocada está en tu cálculo del numerador. Tu numerador originalmente era -

$\sqrt{3}\cos20^{\circ} - \sin20^{\circ}$ que puede escribirse como

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos20^{\circ} - \frac{1}{2}\sin20^{\circ})$ ...... (1)

Y estabas tratando de expresarlo como -

$R\sin(\theta+\alpha)$ que se puede ampliar para expresarlo de la siguiente manera -

$R(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha)$ ..... (2)

Si compara (1) con (2), verá que la forma en que calculó su valor de $R=2$ era correcto. Además, en comparación, el valor de $\alpha = 20^\circ$ . Pero aquí es donde usted tiene su cálculo erróneo -

En comparación, el valor de $\theta$ debe ser tal que

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cos\theta = -\frac{1}{2}$

Dado que el seno es positivo mientras que el coseno es negativo, $\theta$ debe estar en el segundo cuadrante, por lo que el valor sería $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (y no el valor que averiguó que era $-60^\circ$ que, de hecho, se encontraría en el cuarto cuadrante). Ahora el numerador será correctamente -

$2\sin{(120^\circ + 20^\circ)} = 2\sin{140^\circ} = 2\sin{40^\circ}$ . Ahora puedes volver a poner este numerador correcto en tu expresión reducida final y obtener el único valor posible para la expresión dada, que es 4.

Answer 2

En $R=-2,-2\sin\theta=\sqrt3\iff\sin\theta=?,-2\cos\theta=1\iff\cos\theta=?$

Observe que $\theta$ se encuentra en el tercer cuadrante $\theta=(2n+1)180^\circ+60^\circ$ donde $n$ es cualquier número entero

$$\sin\{20^\circ-(2n+1)180^\circ+60^\circ)\}=-\sin220^\circ$$

y $$\sin220^\circ=\sin(180+40)^\circ=-\sin40^\circ$$